题目

若甲向乙发送数据时采用 CRC 校验，生成多项式为 G(x) = x⁴ + x + 1（即 G = 10011），则乙接收到下列比特串时，可以断定其在传输过程中未发生错误的是（ ）。

错因

A

把 101110000 模 2 除以 10011 得余数 0011 ≠ 0，按 CRC 校验规则判定已出错，不是答案。选 A 的人可能在长除法的某一步漏算或字节对齐错（常见错处：跳过了"高位为 0 时直接移位"的步骤，导致某次本不该异或的位置做了异或）。

B

模 2 除法得余数 0010 ≠ 0，已出错。选 B 的人多半是在第二轮异或时（位 6 处）异或对了，但在最后一轮（位 1 / 位 0 移位时）多算了一次，把 0010 的尾巴混成了 0000。

C

模 2 除法得余数 0011 ≠ 0，已出错。选 C 的人和 A 选的人错处类似，常见错路：CRC 的位移和异或操作做混了，导致最终余数总是 0011 这种"接近但不为 0"的值。

总解析

第一步：明确 CRC 校验的判定规则

发送端：用模 2 除法 (binary mod-2 / XOR division) 把"原数据 + 0 填补"除以 G，余数即为 CRC 校验码，附加到原数据末尾发送出去。

接收端：把收到的整个比特串（含 CRC 校验位）模 2 除以 G。

• 余数 = 0 → 未发生错误
• 余数 ≠ 0 → 检测到错误

第二步：对四个候选串分别做长除法

生成多项式 G = 10011（5 位，校验码 4 位）。

A：101110000 ÷ 10011

101110000  ÷ 10011
取高 5 位 [10111]，10111 XOR 10011 = 00100
余 0010 0 0000，下一非零位在位 6
[10000] XOR 10011 = 00011
余 ... 0 0011，剩余位都是 0
余数 = 0011 ≠ 0

B：101110100 ÷ 10011

[10111] XOR 10011 = 00100  →  剩余 001000100
[10001] XOR 10011 = 00010  →  剩余 000000010
余数 = 0010 ≠ 0

C：101111000 ÷ 10011

[10111] XOR 10011 = 00100  →  剩余 001001000
[10010] XOR 10011 = 00001  →  剩余 000010000
[10000] XOR 10011 = 00011  →  剩余 ........0011
余数 = 0011 ≠ 0

D：101111100 ÷ 10011

[10111] XOR 10011 = 00100  →  剩余 001001100
[10011] XOR 10011 = 00000  →  剩余 000000000
余数 = 0000 ✓

第三步：比对

选项	比特串	余数	是否未出错
A	101110000	0011	❌
B	101110100	0010	❌
C	101111000	0011	❌
D	101111100	0000	✅

最终答案是 D（101111100）。

编者注（生僻术语）：模 2 除法（binary mod-2 division）是 CRC 的核心运算——加减法都是 XOR，不带进位 / 借位。比一般二进制除法简单，但要训练成肌肉记忆。考研做 CRC 题的关键不是公式，而是手工长除法的快稳准：① 高位为 0 跳过（不异或，只移位）；② 高位为 1 才用 G 异或；③ 异或后高位必为 0，可以直接换写覆盖。题面 G = 是 5 位，所以余数 4 位、校验码也是 4 位。