题目

下列关于无向连通图特性的叙述中，正确的是()。 I. 所有顶点的度之和为偶数 II. 边数大于顶点个数减 1 III. 至少有一个顶点的度为 1

错因

B

认为连通图一定有环（边数 > n-1），忘了树就是一种没有环的连通图，其边数恰好等于 n-1，不满足"大于 n-1"。

C

认为 I 和 II 都成立，是在 B 的基础上正确识别了 I，却保留了对 II 的错误判断——没有想到树这个反例。

D

认为 I 和 III 都成立。III 说"至少有一个顶点度为 1"，反例是环图（所有顶点度均为 2，无叶节点），忘了考虑无叶节点的连通图。

总解析

逐条验证：

I（所有顶点度之和为偶数）——恒成立。 无向图中每条边给两个端点各贡献 1 度，所以全图度之和 = 2|E|，必为偶数。与图是否连通无关，对所有无向图都成立。

II（边数 > 顶点数 - 1）——不一定成立。 树是连通图，且边数 = n-1，即 II 不成立。II 只对含环的连通图才成立。

III（至少有一个顶点度为 1）——不一定成立。 反例：三角形（3 个顶点 3 条边的环），每个顶点度均为 2，没有度为 1 的节点；它是连通图但 III 不成立。

只有 I 对所有无向连通图恒成立，答案 A。