题目

下列 AOE 网表示一项包含 8 个活动的工程。通过同时加快若干活动的进度可以缩短整个工程的工期。下列选项中，加快其进度就可以缩短工程工期的是（）

错因

A

只看见"路径 1→2→4→6 上有 c"和"路径 1→2→5→6 上有 e"两条经过 2 的路径，以为已经覆盖了所有最长路径。漏看了第三条同样长 27 的关键路径 1→3→5→6（b+f+h = 27）——这条路径既没有 c 也没有 e，所以哪怕 c 和 e 同时缩短，1→3→5→6 仍是 27，整体工期不变。

B

发现 d 同时位于 1→3→2→4→6 和 1→3→2→5→6 这两条关键路径上，以为加上 e 就能扫掉所有"长链"。但同样漏看了第三条关键路径 1→3→5→6（b+f+h）——它绕开了节点 2，d 和 e 都不在上面，所以工期下不来。

D

把 h 看成"通用要冲"——h 在路径 1→3→2→5→6 和 1→3→5→6 上确实是必经边，但第一条关键路径 1→3→2→4→6（b+d+c+g）走的是 4→6（边 g），完全不经过 h。f 也不在这条路径上。所以缩短 f 和 h 后，1→3→2→4→6 的长度仍是 27。

总解析

第一步：求各事件的最早发生时间 ve(i)（按拓扑序正向递推）：

事件	计算	ve
1	起点	0
3		8
2		12
4		21
5		18
6		27

整个工程工期 = ve(6) = 27。

第二步：求各事件的最迟发生时间 vl(i)（按逆拓扑序反向递推）：

事件	计算	vl
6	= ve(6)	27
4		21
5		18
2		12
3		8
1		0

第三步：找关键活动（活动 关键 ⟺ 与 相等，即时间余量为 0）：

活动			余量	关键？
a (1→2)	0	9	9	✗
b (1→3)	0	0	0	✓
c (2→4)	12	12	0	✓
d (3→2)	8	8	0	✓
e (2→5)	12	12	0	✓
f (3→5)	8	8	0	✓
g (4→6)	21	21	0	✓
h (5→6)	18	18	0	✓

关键活动：b, c, d, e, f, g, h（除 a 外全部）。

第四步：列出所有关键路径（关键活动连成的从源到汇的路径）：

关键路径	长度
P1:
P2:
P3:

第五步：要缩短工期，必须同时缩短所有关键路径。逐选项检查：

选项	缩短的活动	P1 经过？	P2 经过？	P3 经过？	能缩短工期？
A	c, e	✓(c)	✓(e)	✗	✗ P3 不动
B	d, e	✓(d)	✓(d/e)	✗	✗ P3 不动
C	f, d	✓(d)	✓(d)	✓(f)	✓ 三路全覆盖
D	f, h	✗	✓(h)	✓(f/h)	✗ P1 不动

关键路径题的通用解法：① 算 ve、vl → 找出所有关键活动；② 列出所有关键路径（注意常常多于 1 条）；③ 选项里"加快若干活动"能缩短工期的充要条件是这些活动构成所有关键路径的"覆盖集"——少一条路径没覆盖就白干。本题最容易踩的坑就是只看到 1～2 条关键路径，忽视了平行存在的第三条。

最终答案是 C（f 和 d）。