CDMA码分多址

考情分析

CDMA 在 408 中偶尔出现计算题，题目模式非常固定：给出若干站点的码片序列和接收到的叠加信号，求各站发送的数据。只要掌握了内积运算规则，这类题基本就是送分题。

考频：★★☆

CDMA 的基本原理

在 CDMA 系统中，所有用户在同一时间使用同一频带通信。每个站点被分配一个唯一的码片序列（chip sequence），长度为 $m$ 位（通常 $m$ 是 2 的幂，如 8）。

码片序列的特性：

• 每个码片值为 +1 或 -1
• 任意两个站的码片序列正交

正交性是 CDMA 能工作的数学基础——正因为码片序列互相正交，接收端才能从叠加信号中"提取"出某个特定站点的数据。

码片序列的规则

假设有 $N$ 个站，每个站的码片序列是一个 $m$ 维向量 ${\mathbf{S}}_i$。这些向量满足以下数学性质：

规格化内积

$$\frac{1}{m}{\mathbf{S}}_i\cdot {\mathbf{S}}_i=1$$

任何站的码片序列和自身的规格化内积等于 1。

正交性

$$\frac{1}{m}{\mathbf{S}}_i\cdot {\mathbf{S}}_j=0(i\ne j)$$

不同站的码片序列规格化内积为 0。

反码性质

$$\frac{1}{m}{\mathbf{S}}_i\cdot (-{\mathbf{S}}_i)=-1$$

码片序列和自身反码的规格化内积为 -1。

发送过程

每个站在发送数据时：

• 发送比特 1 -> 发送自己的码片序列 $\mathbf{S}$
• 发送比特 0 -> 发送码片序列的反码 $-\mathbf{S}$（每位取反，+1 变 -1，-1 变 +1）
• 不发送 -> 发送全 0 序列

所有站的信号在信道上线性叠加。接收端收到的是所有活跃站点发送信号的逐位之和。

接收过程

接收端想知道站 $i$ 发送了什么数据，只需要计算接收信号与站 $i$ 码片序列的规格化内积：

$$d_i=\frac{1}{m}\mathbf{P}\cdot {\mathbf{S}}_i$$

其中 $\mathbf{P}$ 是接收到的叠加信号。

结果的解释：

• $d_i=+1$ -> 站 $i$ 发送了比特 1
• $d_i=-1$ -> 站 $i$ 发送了比特 0
• $d_i=0$ -> 站 $i$ 没有发送数据

为什么这样做能得到正确结果？把 $\mathbf{P}$ 展开：

$$\mathbf{P}=d_1{\mathbf{S}}_1+d_2{\mathbf{S}}_2+\cdots +d_N{\mathbf{S}}_N$$$$\frac{1}{m}\mathbf{P}\cdot {\mathbf{S}}_i=d_1\cdot \frac{1}{m}{\mathbf{S}}_1\cdot {\mathbf{S}}_i+d_2\cdot \frac{1}{m}{\mathbf{S}}_2\cdot {\mathbf{S}}_i+\cdots +d_i\cdot \underset{=1}{\underbrace{\frac{1}{m}{\mathbf{S}}_i\cdot {\mathbf{S}}_i}}+\cdots$$

由于正交性，除了 ${\mathbf{S}}_i\cdot {\mathbf{S}}_i=m$ 外，其他项都为 0。最终只剩下 $d_i$。

完整计算示例

题目

四个站 A、B、C、D 的码片序列分别为：

• A: (-1, -1, -1, +1, +1, -1, +1, +1)
• B: (-1, -1, +1, -1, +1, +1, +1, -1)
• C: (-1, +1, -1, +1, +1, +1, -1, -1)
• D: (-1, +1, -1, -1, -1, -1, +1, -1)

接收端收到的叠加信号为：

$$\mathbf{P}=(-1,+1,-3,+1,-1,-3,+1,+1)$$

求各站发送的数据。

解

求站 A 的数据：

$$\frac{1}{8}\mathbf{P}\cdot {\mathbf{S}}_A=\frac{1}{8}[(-1)(-1)+(+1)(-1)+(-3)(-1)+(+1)(+1)+(-1)(+1)+(-3)(-1)+(+1)(+1)+(+1)(+1)]$$

逐项计算：

P	S_A	P x S_A
-1	-1	+1
+1	-1	-1
-3	-1	+3
+1	+1	+1
-1	+1	-1
-3	-1	+3
+1	+1	+1
+1	+1	+1

求和：$1+(-1)+3+1+(-1)+3+1+1=8$

$$d_A=\frac{8}{8}=+1\Rightarrow \text{A 发送了 1}$$

求站 B 的数据：

P	S_B	P x S_B
-1	-1	+1
+1	-1	-1
-3	+1	-3
+1	-1	-1
-1	+1	-1
-3	+1	-3
+1	+1	+1
+1	-1	-1

求和：$1+(-1)+(-3)+(-1)+(-1)+(-3)+1+(-1)=-8$

$$d_B=\frac{-8}{8}=-1\Rightarrow \text{B 发送了 0}$$

求站 C 的数据：

P	S_C	P x S_C
-1	-1	+1
+1	+1	+1
-3	-1	+3
+1	+1	+1
-1	+1	-1
-3	+1	-3
+1	-1	-1
+1	-1	-1

求和：$1+1+3+1+(-1)+(-3)+(-1)+(-1)=0$

$$d_C=\frac{0}{8}=0\Rightarrow \text{C 没有发送数据}$$

求站 D 的数据：

P	S_D	P x S_D
-1	-1	+1
+1	+1	+1
-3	-1	+3
+1	-1	-1
-1	-1	+1
-3	-1	+3
+1	+1	+1
+1	-1	-1

求和：$1+1+3+(-1)+1+3+1+(-1)=8$

$$d_D=\frac{8}{8}=+1\Rightarrow \text{D 发送了 1}$$

结果汇总

站点	内积结果	发送数据
A	+1	1
B	-1	0
C	0	未发送
D	+1	1

验证

A 发送 1 -> 发送 ${\mathbf{S}}_A=(-1,-1,-1,+1,+1,-1,+1,+1)$

B 发送 0 -> 发送 $-{\mathbf{S}}_B=(+1,+1,-1,+1,-1,-1,-1,+1)$

C 不发送 -> $(0,0,0,0,0,0,0,0)$

D 发送 1 -> 发送 ${\mathbf{S}}_D=(-1,+1,-1,-1,-1,-1,+1,-1)$

叠加：

$$(-1+1+0-1,-1+1+0+1,-1-1+0-1,+1+1+0-1,+1-1+0-1,-1-1+0-1,+1-1+0+1,+1+1+0-1)$$$$=(-1,+1,-3,+1,-1,-3,+1,+1)=\mathbf{P}✓$$

交互可视化

下面的计算器可以输入码片序列和接收信号，自动计算各站的发送数据。

加载可视化中...

做题步骤总结

计算时建议列表格，逐位相乘后求和，减少出错概率。一道完整的 CDMA 题目计算量不大，关键是别算错符号。

易错点

1. 发送 0 不是发送全 0，而是发送码片反码

CDMA 中，发送比特 0 对应发送 $-\mathbf{S}$（码片序列每位取反）。只有"不发送"才对应全 0。这一点是理解 CDMA 的关键——如果发送 0 真的是全 0，那接收端就无法区分"发送 0"和"不发送"了。

2. 规格化内积要除以 $m$

直接点乘后的结果还要除以码片长度 $m$（本例中 $m=8$），才能得到 +1、-1 或 0。如果点乘结果是 $\pm m$ 以外的值，说明算错了。

3. 符号运算要仔细

每一步的 (+1)(-1) = -1 之类的计算看似简单，但连续算 8 次很容易出错。建议在草稿纸上用表格形式逐位计算。

4. 接收信号的值可以是任意整数

叠加信号 $\mathbf{P}$ 的每个分量可以是 $-N$ 到 $+N$（$N$ 是活跃站数）之间的任意整数。看到分量绝对值大于 1 不要惊慌，这是多个站信号叠加的结果。

本文对应考点

• CDMA 码片序列的正交性质（自身内积=m，不同序列内积=0，反码内积=-m）
• 发送 1 -> 发送码片序列，发送 0 -> 发送反码，不发送 -> 发送全 0
• 给定码片序列和接收信号，计算各站发送数据
• 验证：将计算出的各站数据对应的码片序列相加，应等于接收信号

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