题目

某差错编码的编码集为 { 10011010，01011100，11110000，00001111 }，其检错和纠错能力是（ ）。

错因

A

最小海明距离算错了——错把 估为 3，结果用公式 推出"检 2 位错"。这种错误通常来自只算了部分两两距离就匆忙下结论，或者在做异或时漏数了 1 的个数。本题真正的 ，按 应能检 3 位错。

B

同时主张"检 2 位 + 纠 2 位"——这两个能力自相矛盾。检 2 位错只要 ，但纠 2 位错要 。若真有 ，那检错能力至少能到 4 位（），不可能仅停在 2 位。这说明选 B 的人没真去算 ，而是凭"检小 + 纠小 = 安全"的直觉拼答案。

D

记反了纠错公式。 时正确公式是 ，只能纠 1 位。但选 D 的人把公式记成 ，于是误以为能纠 2 位错。关键陷阱：海明距离纠错能力公式用的是 向下取整，不是 。这道题专门挑 （偶数），就是为了卡这个公式记忆。

总解析

第一步：算编码集任意两两的海明距离

海明距离 = 两个码字异或后 1 的个数（即两码字不同位的位数）。

码字对	异或结果	海明距离
10011010, 01011100	11000110	4
10011010, 11110000	01101010	4
10011010, 00001111	10010101	4
01011100, 11110000	10101100	4
01011100, 00001111	01010011	4
11110000, 00001111	11111111	8

最小海明距离 。

第二步：套检错 / 纠错能力公式

能力	公式	代入
检错位数		，可检 3 位
纠错位数		，可纠 1 位

直觉解释：

• 检 位错：只要错码不撞到另一个合法码字就能识别；要"误差球"不重叠到对方需要 。
• 纠 位错：要根据接收码就近映射到唯一合法码字，需要"半径 的误差球"不重叠，即 。

第三步：核对选项

• 检 3 位错（）+ 纠 1 位错（）→ 命中 C

最终答案是 C。

编者注（生僻术语）："检错率 100%" 强调的是 "在检错能力范围内，所有 位错误都能被检出，不会漏判"——海明编码的这一性质来自 的下界保证，不是经验估值。