题目

已知 ，计算 的 C 语言函数 f1 如下：

int f1(unsigned n) {
    int sum=1, power=1;
    for(unsigned i=0; i<= n -1; i ++) {
        power * = 2;
        sum += power;
    }
    return sum ;
}

将 f1 中的 int 都改为 float，可得到计算 f(n) 的另一个函数 f2。假设 unsigned 和 int 型数据都占 32 位，float 采用 IEEE754 单精度标准。请回答下列问题。

(1) 当 n=0 时，f1 会出现死循环，为什么？若将 f1 中的变量 i 和 n 都定义为 int 型，则 f1 是否还会出现死循环？为什么？

(2) f1(23) 和 f2(23) 的返回值是否相等？机器数各是什么（用十六进制表示）？

(3) f1(24) 和 f2(24) 的返回值分别为 33554431 和 33554432.0，为什么不相等？

(4) f(31)= 232−1 ，而 f1(31) 的返回值却为 -1，为什么？若使 f1(n) 的返回值与 f(n) 相等，则最大的 n 是多少？

(5) f2(127) 的机器数为 7F80 0000H，对应的值是什么？若使 f2(n) 的结果不溢出，则最大的 n 是多少？若使 f2(n) 的结果精确（无舍入），则最大的 n 是多少？

解析

本题用一个看似简单的求和函数 串起 5 个数据表示层面的考点：

• 无符号 vs 有符号：n - 1 在 n = 0 时的两种解读；
• int vs float 表示能力：32 位 int 能精确到 ，而 float 只有 24 位有效尾数；
• IEEE 754 单精度：阶码偏置 127、阶码全 1 + 尾数 0 表示 ∞；
• 舍入：超过 24 位的尾数怎么进位、什么时候溢出。

(1) n=0 时 f1 死循环的原因 [4 分]

for (unsigned i = 0; i <= n-1; i++)。

unsigned 解读：

时，n - 1 在 unsigned 算术中按模 计算：

机器数为 32 个 1，值为 —— unsigned 能表示的最大数。判断条件 i <= n-1 永远成立（因为 i 是 unsigned，最大也才 ）→ 死循环。

改成 int 后不会死循环。

n - 1 在 signed 补码算术下 = 。判断条件 i <= -1 在 i = 0 时即不成立 → for 循环一次都不进，直接退出。

易错点： "unsigned 减法溢出" 不会报错——它按模 安静地绕回最大值。这是 C 语言里"unsigned 不会负"的代价。如果要让 i <= n-1 在 n=0 时也安全，常见写法是改成 i < n。

(2) f1(23) 与 f2(23) 的返回值与机器数 [3 分]

，二进制 = 24 个 1。

返回值相等。 因为：

• int 32 位能容纳 ，24 位 1 没溢出；
• float 单精度有 23 位显式尾数 + 1 位隐含 = 24 位有效精度，恰好装下 24 位 1，无需舍入。

f1(23) 的机器数（int）：

f2(23) 的机器数（float）：

把 规格化：

• 符号位 S = 0；
• 阶码 E = ；
• 尾数 M = 1111 1111 1111 1111 1111 111（23 位，隐含的最高位 1 不存）；

拼接：0 10010110 11111111111111111111111 → 分组：

(3) f1(24) 与 f2(24) 不等的原因 [2 分]

—— 25 个 1。

• int 能容纳 25 位 1（ < ）→ f1(24) = 33554431（精确）；
• float 只有 24 位有效精度。1111...1（25 位）规格化后尾数有 24 位（含隐含位），第 25 位被舍入。"舍入到偶"（IEEE 默认）下，最低位 1 被进位，结果 = = 33554432。

故 f2(24) 比 f1(24) 大 1。

易错点： float 不是"位数比 int 少"——float 32 位与 int 32 位长度相同，但 float 把 8 位用作阶码、23 位用作尾数，实际"精度"远小于 32 位。理解"动态范围 vs 精度"的取舍是浮点的关键。

【评分说明】只要说明 f2(24) 需舍入处理即可给分。

(4) f(31) 与 f1(31)、最大可精确 n [2 分]

为什么 f1(31) = -1？

，对应机器数 = 32 个 1 = FFFFFFFFH。在 32 位 int（补码）解释下：

f1 把 sum 当 int 返回，故得 −1。

最大 n 使 f1(n) = f(n)：

要 不超过 int 最大值 ：

【评分说明】只要给出 n=30 即可给分。

(5) f2(127) 的值、不溢出 / 精确的最大 n [3 分]

f2(127) = 7F800000H 对应的值。

按 IEEE 754 单精度拆解：

位段	值	含义
S（1）	0	正
E（8）	11111111 = 255	全 1
M（23）	0...0	全 0

阶码全 1、尾数全 0 → 表示 （IEEE 754 特殊编码）。

不溢出的最大 n：

f(n) ≈ ，规格化后阶码 = （先看尾数舍入）。单精度允许的最大有限阶码 = （即 E = 11111110）。

逐个验证：

• ：，规格化 = （127 个 1）。24 位尾数容不下 127 个 1，舍入后尾数变成 ，阶码 +1 → 阶码 = 127，偏置后 E = 254，仍是有限数。不溢出。
• ：，舍入后阶码 = 128，偏置 = 255 → 编码 = +∞。溢出。

故 不溢出的最大 n = 126。

精确（无舍入）的最大 n：

f(n) = 个 1。要不舍入，必须 → 。

编者注（生僻术语）： IEEE 754 的"特殊值"包括：阶码全 0 + 尾数全 0 = ±0；阶码全 0 + 尾数非 0 = 非规格化数；阶码全 1 + 尾数全 0 = ±∞；阶码全 1 + 尾数非 0 = NaN。本题考的是 +∞ 这一情形。

【评分说明】只要给出 n=23（精确）和 n=126（不溢出）即可给分。