题目

有一个 100 阶的三对角矩阵 ，其元素 按行优先依次压缩存入下标从 0 开始的一维数组 中。元素 在数组 中的下标是( )。

错因

A

把 当成第 30 行的第一个非零元算了。第 30 行有三个非零元 、、，下标依次是 86、87、88。选 A 的人算对了"第 30 行从下标 86 开始"，但忘了 在本行排第二（位置 1，0-indexed），把行内位置当成 0 了。

C

正好把 错认成本行的第三个非零元 。本行三个元素从左到右是 ，行内位置 0、1、2；选 C 相当于把"主对角线 i = j"和"上副对角线 i = j-1"搞反了。

D

可能用了"下标从 1 开始"的公式 还要再 +1，或多算了一行的偏移。最常见的算法：忘了第 1 行只有 2 个非零元、第 2~99 行才是 3 个，把所有行都按 3 个算，总数变成 ，再加行内位置 2 = 89。本质是边界行的元素数没单独处理。

总解析

三对角矩阵的非零元分布：只有满足 的元素非零，即主对角线和它上下各一条副对角线上的元素。

每行的非零元个数：

• 第 1 行：、，共 2 个
• 第 2 ~ 99 行：、、，共 3 个
• 第 100 行：、，共 2 个

按行优先压缩到下标从 0 开始的数组 ：

第 行（）之前共存了多少个元素？

第 行内三个元素的行内位置（从 0 编号）是 0、1、2，对应 。所以行内位置 。

的下标（，）：

代入 ：

手算验证：第 30 行之前一共存了 个元素（占 到 ）。

	86	87	88
元素

。

最终答案是 B（87）。