题目

高度为 5 的 3 阶 B 树含有的关键字个数至少是( )

错因

A

把每层结点数累加但忘了考虑根的特殊规则，或者只算到第 4 层就停了。 看起来很顺手，但这只是 4 层的最小结点数。题目说高度为 5，叶层（第 5 层）也必须算进去——叶层最少 16 个结点，每个 1 个关键字，再加 16 才完整。

C

把每个结点的关键字数从最少算成了最多。3 阶 B 树每个结点关键字数 ，每层结点数最少时是 ，每个结点最少 1 个关键字。如果错误地把每个非根结点的关键字数算成 2，就会得到 ，再凑成 62。本质是把"最少结点数"和"最多关键字数"两个极端混搭了。

D

用了"满 m 叉树"的总叶数公式 之类的指数估算（ 减 1 = 242，或别的指数凑数）。这是把 B 树和"高为 h 的满 m 叉树"等同起来，得到的反而是最多而非最少；并且 3 阶 B 树每个结点最多 3 个孩子但只有 2 个关键字，242 这种数量在最少场景下完全不可能。

总解析

B 树的两条最少结点规则（设阶数 ）：

• 根结点：若树非空且不是单结点，则至少 2 个孩子（即 1 个关键字）；
• 非根非叶结点：至少 个孩子（1 个关键字）；
• 每个结点的关键字数：至少 个。

关于"高度"的口径：本题用王道/天勤经典口径——高度 = 包含叶层在内的总层数（即从根到最深叶的层数），所以高度 5 = 共 5 层，从第 1 层（根）到第 5 层（叶）。

让结点尽量少 ⇔ 让每个结点都按"下限"放孩子：

层	该层最少结点数	每个结点最少关键字	该层关键字合计
第 1 层（根）	1	1	1
第 2 层		1	2
第 3 层		1	4
第 4 层		1	8
第 5 层（叶）		1	16
合计	31		31

每层结点数翻倍是因为每个结点最少有 2 个孩子。每个结点又只有 1 个关键字（下限），所以总关键字数 = 总结点数 = 。

也可以用等比数列直接写：

最终答案是 B（31）。