题目

下图所示的 AOE 网表示一项包含 8 个活动的工程。活动 d 的最早开始时间和最迟开始时间分别是( )。

错因

A

把活动 d 的"最早开始"误算成只走 1→2 这一条入路：，忽略了 2 还有另一条入路 1→3→2（路径长 8+4=12）。事件 2 的最早发生时间应取所有入路的最大值。最迟开始时间也直接拿了 d 自身权值 7，把"最迟开始"当成"持续时间"了。

B

最早开始算对了 ，但误以为 d 在关键路径上，于是判定 。其实关键路径是 （长 8+10+9=27），d 不在关键路径上，存在松弛量，。

D

可能把 d 的最早结束时间（）或路径长度搞混当作答案；或对关键路径理解错位，把整个关键路径长度 27 减某段错误偏移得 15。本质是事件最早/最迟时间和活动最早/最迟开始时间的对应公式没记牢。

总解析

核心公式：

• 事件 j 最早发生时间：，从源点向汇点正推。
• 事件 j 最迟发生时间：，从汇点向源点逆推（汇点的 vl = ve）。
• 活动 从事件 i 指向事件 j、权值 w：
  • 最早开始
  • 最迟开始

步骤 1：正推 ve（最早发生时间）

事件	计算	ve
1	源点	0
3		8
2		12
4		19
5		18
6		27

步骤 2：逆推 vl（最迟发生时间）

事件	计算	vl
6	汇点，vl = ve	27
4		21
5		18
2		12
3		8
1	0	0

步骤 3：求活动 d 的最早/最迟开始时间

活动 d 是 ，权值 7：

说明 d 不在关键路径上：，存在 2 单位的松弛量。关键路径是 （即 ，总长 27）。

最终答案是 C（12 和 14）。