堆排序

2026 大纲 七（八）堆排序（堆这个数据结构本身——定义、上浮下沉、插入删除、优先队列、Top-K——见《堆》，本篇只讲排序流程与排序视角的性质）。

把上一趟的比较结果存下来复用

简单选择排序慢在哪？每趟都把未排序区从头扫到尾，上一趟辛苦比出来的大小关系一点没用上。

堆排序的改法是：把胜负关系存进一棵树里。这样每选出一个最值，只需沿一条路径调整，每趟比较次数从 $O(n)$ 降到 $O({\log }_{2}n)$。

流程分两段：先建一个大根堆，然后反复"堆顶与当前末元素交换、把前段重新调成堆"。

一趟之后的不变量是：

尾部 $k$ 个是全局最大的 $k$ 个、已升序且永不再动；前 $n-k$ 个仍是一个合法的大根堆。

为什么非要与末元素交换？ 因为这一步同时完成两件事：腾出堆顶、让最大值归位——一个额外单元都不用。这正是堆排序空间 $O(1)$ 的直接来源。

下标约定：本篇用 1 起——左孩子 $2i$、右孩子 $2i+1$、双亲 $\lfloor i/2\rfloor$、最后一个非终端结点 $\lfloor n/2\rfloor$。0 起则依次为 $2i+1$、$2i+2$、$\lfloor (i-1)/2\rfloor$、$\lfloor n/2\rfloor -1$。全程只用一套，别混。

先动手看一眼

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代码与四处不能改的地方

// A[1..n] 存数据；假设 A[s+1..m] 已是堆，把 A[s..m] 调整为以 A[s] 为根的大根堆
void HeapAdjust(int A[], int s, int m) {
    int rc = A[s];                       // 暂存待筛选的记录，全程只搬它一次
    for (int j = 2 * s; j <= m; j *= 2) {// j 指向 s 的左孩子，沿路径向下
        if (j < m && A[j] < A[j + 1])
            j++;                         // j 指向左右孩子中较大的那个
                                         // j < m 保证右孩子存在，不越界
        if (rc >= A[j])
            break;                       // 已满足堆序，rc 就该待在位置 s 上
        A[s] = A[j];                     // 较大的孩子上移
        s = j;                           // 下降到该孩子的位置，继续
    }
    A[s] = rc;                           // 待筛记录落位
}

void BuildMaxHeap(int A[], int n) {
    for (int i = n / 2; i >= 1; i--)     // 从最后一个非终端结点倒推到根
        HeapAdjust(A, i, n);             // 倒着做才保证 A[i+1..n] 已满足堆序
}

void HeapSort(int A[], int n) {
    BuildMaxHeap(A, n);
    for (int i = n; i > 1; i--) {        // 共 n-1 趟
        int x = A[1]; A[1] = A[i]; A[i] = x;  // 堆顶与未排序区末元素交换，A[i] 就位
        HeapAdjust(A, 1, i - 1);         // 把 A[1..i-1] 重新调整为大根堆
    }
}

🔴 第一，建初堆必须从 $\lfloor n/2\rfloor$ 倒着做。 HeapAdjust 的前提是"A[s+1..m] 已是堆"，倒序恰好保证处理结点 $i$ 时它的两棵子树（根为 $2i$、$2i+1$）已处理过；正着来前提不成立，一趟调不出堆。序号大于 $\lfloor n/2\rfloor$ 的都是叶子，必已成堆，不必处理。

第二，j < m 不能省：j == m 时结点 j 没有右兄弟，读 A[j+1] 就越界。

第三，用"上移 + 最后落位"而不是每步交换：交换要 3 条赋值，这里每步只写 1 条，最后补一次 A[s] = rc。

第四，步进是 j *= 2：循环体末尾 s 已被赋成 j，故 j *= 2 恰好指向新的左孩子。若 2*s > m（s 是叶子），循环一次都不进，直接还原，正确。

手工建堆：倒着来，逐个下沉

真题给一个初始序列和四个"建大根堆的序列变化过程"，问哪个正确。关键全在建堆的次序上，所以手工建堆的流程必须走熟：

1. 找到最后一个非终端结点 $\lfloor n/2\rfloor$，从它开始；
2. 对当前结点做一次下沉：与左右孩子中较大的那个比，比它小就换下去，继续往下比，直到满足堆序或到达叶子；
3. 结点号减 1，回到第 2 步，直到处理完根结点。

拿 $\{6,1,5,9,8,4,7\}$（$n=7$，$\lfloor 7/2\rfloor =3$）走一遍：

步	处理结点	值	孩子	动作	结果
1	3	5	$A[6]=4$, $A[7]=7$	较大孩子 7 $>$ 5，交换	6 1 7 9 8 4 5
2	2	1	$A[4]=9$, $A[5]=8$	较大孩子 9 $>$ 1，交换；1 到位置 4，已是叶子	6 9 7 1 8 4 5
3	1	6	$A[2]=9$, $A[3]=7$	较大孩子 9 $>$ 6，交换；6 到位置 2，孩子 $A[4]=1$、$A[5]=8$，较大 8 $>$ 6，再换	9 8 7 1 6 4 5

最终大根堆：9 8 7 1 6 4 5。

这类题的三个排除点：

1. 起点必须是 $\lfloor n/2\rfloor$，不是根、也不是 $n$。 从根开始往下建是错的。
2. 每一步只处理一个结点，且结点号严格递减。 选项里若出现"先调 2 号再调 3 号"这种顺序反了的，直接排除。
3. 下沉要走到底。 一个结点换下去之后，如果新位置还有孩子且不满足堆序，本步要继续往下换完，不能算作下一步。第 3 行的 6 连换两次就是这种情况——有的错误选项会把它拆成两步，从而多出一个中间状态。

建初堆是 $O(n)$，不是 $O(n{\log }_{2}n)$

🔴 直觉上"$n/2$ 个非终端结点，每个筛选 $O({\log }_{2}n)$"给出 $O(n{\log }_{2}n)$，但这个估计太松：绝大多数结点位于树的底层，能下降的距离很短。

设 $n$ 个结点的完全二叉树深度为 $h$。第 $i$ 层最多有 $2^{i-1}$ 个结点，最多下移 $h-i$ 层，每下移一层做 2 次比较（先在两个孩子间选大者、再与父比较）。于是总比较次数

$$\sum _{i=h-1}^1{2}^{i-1}\cdot 2(h-i)\le 4n$$

即 $O(n)$——与 $n$ 成正比、不含对数因子。

对照能把道理说透：若改用"从空堆开始逐个插入并上浮"建堆，代价是 $O(n{\log }_{2}n)$。上浮距离由结点到根的距离决定，而大多数结点离根很远；下沉距离由到叶的距离决定，而大多数结点离叶很近。 两种建堆方式的复杂度差别，根子就在这一句上。

排序阶段是 $O(n{\log }_{2}n)$：共 $n-1$ 趟，第 $i$ 趟堆规模为 $i$，路径长 $\lfloor {\log }_{2}i\rfloor +1$，每层 2 次比较，合计 $<2n\lfloor {\log }_{2}n\rfloor$。

总计 $T(n)=O(n)+O(n{\log }_{2}n)=O(n{\log }_{2}n)$。

三个"唯一"：最坏有保证、空间真 $O(1)$、只能用顺序表

最好、最坏、平均完全相同，都是 $O(n{\log }_{2}n)$。 因为控制流几乎不受输入取值影响：建初堆的循环边界只由 $n$ 决定；排序阶段固定跑 $n-1$ 趟。所以堆排序没有"最好情况"这一说——但反过来看，这是对任意输入的保证，与快速排序最坏 $O(n^2)$ 形成关键对照。

空间真正是 $O(1)$。 只要一个交换用的辅助单元和筛选用的 rc，与 $n$ 无关。⚠️ 前提是 HeapAdjust 写成循环；写成递归就变 $O({\log }_{2}n)$。

🔴 它是唯一同时做到"最坏 $O(n{\log }_{2}n)$"与"空间 $O(1)$"的比较排序。 二路归并排序有同样的时间保证但要 $O(n)$ 辅助数组；快速排序空间较小但要 $O({\log }_{2}n)\sim O(n)$ 的递归栈且最坏会退化。三者各缺一角，堆排序缺的是稳定性和常数因子。

只能用于顺序表。 全程依赖"由下标 $i$ 直接算出 $2i$、$2i+1$、$\lfloor i/2\rfloor$"，这是完全二叉树顺序存储的特权。链表上要找"第 $2i$ 个结点"必须从头遍历，每步退化成 $O(n)$，全部收益归零。同样受此限制的还有折半插入排序、希尔排序、快速排序。

适用与不适用：$n$ 大、要求最坏也有保证、内存紧张时用；记录数较少时不宜——建初堆的比较次数较多，小规模下不划算。

建初堆与逐趟排序的完整推演（第一次学、或想手动模拟就展开）

以 {49, 38, 65, 97, 76, 13, 27, 49*} 为例（$n=8$，49* 是第二个 49）。$\lfloor n/2\rfloor =4$，从结点 4 开始倒着筛选：

$i$	结点值	孩子	动作	结果
4	97	A[8] = 49*	$97\ge {49}^{\ast }$，不动	49 38 65 97 76 13 27 49*
3	65	A[6] = 13, A[7] = 27	较大孩子 27，$65\ge 27$，不动	49 38 65 97 76 13 27 49*
2	38	A[4] = 97, A[5] = 76	较大孩子 97 $>$ 38，97 上移；38 下降到位置 4，其孩子 A[8] = 49* $>$ 38，49* 上移；38 落到位置 8	49 97 65 49* 76 13 27 38
1	49	A[2] = 97, A[3] = 65	较大孩子 97 $>$ 49，97 上移；49 下降到位置 2，其孩子 A[4]=49*、A[5]=76，较大是 76 $>$ 49，76 上移；49 落到位置 5	97 76 65 49* 49 13 27 38

初始大根堆：97 76 65 49* 49 13 27 38，对应的完全二叉树：

              97(1)
           /        \
       76(2)        65(3)
      /    \       /    \
   49*(4)  49(5) 13(6)  27(7)
   /
 38(8)

逐个验证堆序：$97\ge 76,65$；$76\ge {49}^{\ast },49$；$65\ge 13,27$；${49}^{\ast }\ge 38$ ✓

排序阶段（粗体为已就位部分）：

趟	交换	交换后	筛选后（新的堆 + 已就位部分）
1	A[1]↔A[8]	38 76 65 49* 49 13 27 97	76 49* 65 38 49 13 27 97
2	A[1]↔A[7]	27 49* 65 38 49 13 76 97	65 49* 27 38 49 13 76 97
3	A[1]↔A[6]	13 49* 27 38 49 65 76 97	49* 49 27 38 13 65 76 97
4	A[1]↔A[5]	13 49 27 38 49 65 76 97*	49 38 27 13 49 65 76 97*
5	A[1]↔A[4]	13 38 27 49 49 65 76 97*	38 13 27 49 49 65 76 97*
6	A[1]↔A[3]	27 13 38 49 49 65 76 97*	27 13 38 49 49 65 76 97*
7	A[1]↔A[2]	13 27 38 49 49 65 76 97*	13 27 38 49 49 65 76 97*

每一趟结束后都可以自查两件事：尾部就位的元素是否单调递增，前部是否仍是合法大根堆。

图源：殷人昆《数据结构——用面向对象方法与 C++ 描述》（第 2 版）图 9.17 堆排序的示例，p421

⚠️ 该图的结点编号从 0 起（根是 0 号），与本篇正文的 1 起编号相差 1，对照时注意换算。

不稳定的反例逐步推演（想看清两个相等元素是怎么被换过去的就展开）

{21, 25, 49, 25*, 16, 08}（25* 是第二个 25，初始时排在 25 后面），按 1 起下标 A[1..6]：

阶段	数组状态
初始	21 25 49 25* 16 08
建初堆（$i=3,2,1$）	49 25 21 25* 16 08
第 1 趟：A[1]↔A[6]，筛选	25 25* 21 08 16 49
第 2 趟：A[1]↔A[5]，筛选	25* 16 21 08 25 49
第 3 趟：A[1]↔A[4]，筛选	21 16 08 25 25 49*
第 4 趟：A[1]↔A[3]，筛选	16 08 21 25 25 49*
第 5 趟：A[1]↔A[2]	08 16 21 25 25 49*

最终 25* 排在了 25 前面——初始时 25 在前，次序被颠倒。

根源：第 1 趟把堆顶 49 与末元素 08 交换后，08 从位置 6 一步跳到位置 1，随后的筛选又把 25、25* 各挪了位置——两个相等元素在这一连串远距离搬动中从未被直接比较过（它们不是父子关系，堆序也不要求兄弟或跨子树之间有序）。与快速排序、简单选择排序、希尔排序的不稳定根源完全一致。

复杂度汇总与两处易混对照

指标	结果	说明
建初堆	$O(n)$，比较次数 $\le 4n$	大多数结点在底层，下沉距离短
排序阶段	$O(n{\log }_{2}n)$，比较次数 $<2n\lfloor {\log }_{2}n\rfloor$	$n-1$ 趟 $\times$ 每趟一条根到叶的路径
最好 / 最坏 / 平均	均为 $O(n{\log }_{2}n)$	对任意输入的保证
空间	$O(1)$	循环式筛选，无辅助数组、无递归栈

对比项	A	B	判别依据
建初堆的复杂度	自底向上下沉：$O(n)$	逐个插入上浮：$O(n{\log }_{2}n)$	下沉距离由到叶的距离决定，上浮由到根的距离决定
堆有序 vs 完全有序	堆只保证"双亲优于孩子"	有序要求处处相邻有序	左右孩子之间、同层之间、跨子树之间都不要求有序；升序数组是合法小根堆

考点速记

三条结论：

1. 建初堆从 $\lfloor n/2\rfloor$ 倒着做，代价 $O(n)$ 而不是 $O(n{\log }_{2}n)$。
2. 最好、最坏、平均都是 $O(n{\log }_{2}n)$，是对任意输入的保证。
3. 唯一同时做到"最坏 $O(n{\log }_{2}n)$"与"空间 $O(1)$"的比较排序，缺的是稳定性。

这一节在真题里被考过的形式（下方「真题练习」逐题对应）：

• 建大根堆的序列变化过程：给初始序列和四个变化过程，选正确的那个。三个排除点：起点必须是 $\lfloor n/2\rfloor$（不是根）、结点号严格递减、一个结点要一次下沉到底（错误选项常把连续两次下沉拆成两个中间状态）。
• 稳定性判断：不稳定，与希尔、快排同列（详见排序算法对比）。

它还会作为对照项出现在几处：与冒泡排序的中间状态区分（尾部一模一样，只能看前部有没有堆序）；"每趟至少确定一个元素最终位置"的判断（堆排符合）。

易错：建初堆是 $O(n)$。 写成 $O(n{\log }_{2}n)$ 是把上浮式建堆的代价套过来了。

易错：空间 $O(1)$ 的前提是筛选写成循环。 题目给的是递归版时，空间是 $O({\log }_{2}n)$。

易错：堆排与冒泡的中间状态尾部一致。 判断时看前部是否满足 $A[i]\ge A[2i]$ 且 $A[i]\ge A[2i+1]$——堆排必满足，冒泡一般不满足。

教材出处

• 堆的定义（$k_i\ge k_{2i}$ 且 $k_i\ge k_{2i+1}$，$1\le i\le \lfloor n/2\rfloor$）、大根堆与小根堆、堆排序的三步流程（建初堆 → 交换 $r[1]$ 与 $r[n]$ → 重新调整）：严蔚敏《数据结构（C 语言版）》（第 3 版），p304–p305
• 筛选法调整堆的算法步骤与算法描述（算法 8.7 HeapAdjust）：同书 p306
• 建初堆的算法（算法 8.9，"所有序号大于 $\lfloor n/2\rfloor$ 的结点都是叶子，只需从最后一个分支结点 $\lfloor n/2\rfloor$ 开始，依次将序号为 $\lfloor n/2\rfloor$、$\lfloor n/2\rfloor -1$、…、1 的结点作为根的子树都调整为堆"）、堆排序算法（算法 8.9）、以 $\{49,38,65,97,76,13,27,49\}$ 为例的建堆过程（图 8.11）与排序过程（图 8.12）：同书 p306–p308
• 建初堆总比较次数不超过 $4n$、重建堆时总比较次数不超过 $2n\lfloor {\log }_{2}n\rfloor$、最坏情况时间复杂度 $O(n{\log }_{2}n)$、"实验研究表明，堆排序的平均性能接近于最坏性能"、空间复杂度 $O(1)$：同书 p307–p308
• 算法特点："是不稳定排序"；"只能用于顺序结构，不能用于链式结构"；"初始建堆所需的比较次数较多，因此记录数较少时不宜采用。堆排序在最坏情况下时间复杂度为 $O(n{\log }_{2}n)$，相对于快速排序最坏情况下的 $O(n^2)$ 而言是一个优点"：同书 p309
• 树形选择排序（锦标赛排序）作为堆排序的前身、以及"改进简单选择排序应从如何减少比较出发"的动机：同书 p302–p303
• 图 9.17 堆排序的示例（含两个相等关键字 25 与 25*，结点编号从 0 起）：殷人昆《数据结构——用面向对象方法与 C++ 描述》（第 2 版），p421

相关知识

堆（结构本身与 $O(n)$ 建堆的完整证明）｜ 简单选择排序（堆排序的前身）｜ 快速排序（平均最优 vs 最坏保证的对照）｜ 二路归并排序（同样保证最坏量级且稳定，代价是 $O(n)$ 辅助空间）｜ 冒泡排序（中间状态尾部一致，靠前部堆序区分）｜ 外部排序（败者树与堆同属一类思路）｜ 由中间状态反推排序算法｜ 排序算法对比

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