题目

现有一棵无重复关键字的平衡二叉树(AVL 树)，对其进行中序遍历可得到一个降序序列。下列关于该平衡二叉树的叙述中，正确的是( )。

错因

A

把"AVL 树平衡因子 |BF|≤1"误读成"每个节点必须有 2 个孩子"。AVL 只要求左右子树高度差 ≤1，完全允许度为 0 或 1：

• 单节点树：根度=0
• 两节点树（根+一个孩子）：根度=1

所以"根的度一定为 2"不成立。

B

中序降序意味着这是一棵反向 BST：左子树 > 根 > 右子树。最小元素出现在中序末尾，即最右下角的节点（一直往右走到底）。这个节点没有右子树，但可以有左子树——因为反 BST 中左子树值更大，不影响"最小"的判定。

反例：树为 5(6, _)——只有 2 个节点，根 5，左孩子 6。中序：6, 5（降序 ✓），平衡（高度差 1 ≤ 1 ✓）。最小元素 5 是根，不是叶子（它有左孩子）。所以 B 错。

C

AVL 树插入新元素时，先按 BST 规则把它作为叶子插入；如果造成失衡，会触发旋转。旋转后，新插入的节点未必还是叶子——它可能被旋转上来变成内部节点。

反例：依次插入 3, 1, 2 到（普通）AVL：

1. 插 3 → 3
2. 插 1 → 3(1, _)
3. 插 2 → 3(1(_, 2), _)，根 3 的 BF = 2，失衡（LR 型），双旋后 → 2(1, 3)。

最后插入的是 2，旋转后 2 在根，不是叶子。所以 C 错。

总解析

先把"中序降序"翻译清楚：

• 普通 BST：中序遍历得升序（左子 < 根 < 右子）。
• 本题的 AVL：中序遍历得降序 → 左子 > 根 > 右子（反向 BST）。

平衡条件 |BF|≤1 不变，只是大小关系镜像。

逐项分析：

选项	反例/分析	判定
A. 根度一定为 2	单节点 / 两节点 AVL 也合法，根度可为 0 或 1	❌
B. 最小元素一定是叶	反例 5(6, _)：最小元素 5 是根、不是叶	❌
C. 最后插入的一定是叶	旋转后新节点可能变内部节点（如插 1,2,3 触发旋转）	❌
D. 最大元素一定无左子树	中序首位 = 最大 = "一直往左走到底"的节点，按定义没有左子	✅

D 为什么必然成立：

中序遍历的递归定义是 中序(根) = 中序(左子) + 根 + 中序(右子)。中序输出的第一个元素，就是从根沿左子链一路走到底的那个节点——它没有左子，否则左子的中序输出会排在它前面。

在反 BST 中，最大值就是中序的首位。所以最大值所在节点必无左子树。

关键直觉：把题目条件"中序降序"看成"镜像 BST"——所有"普通 BST 关于最小元素的结论"在这棵树里都变成关于最大元素的结论，反之亦然。

• 普通 BST：最小在最左下，无左子；最大在最右下，无右子
• 反 BST：最小在最右下，无右子；最大在最左下，无左子

常见陷阱：选项 B 把"最右下"和"叶子"画等号——其实"无右子"≠"叶"，只要有左子就不是叶。

最终答案是 D（树中最大元素一定无左子树）。