题目

给定平衡二叉树如下图所示，插入关键字 23 后，根中的关键字是( )。

错因

A

把旋转方向搞反。误以为 20 失衡时左重，做"右单旋"把 16 抬上来。其实 20 是右子树过深（BF = -2），属于右重；正确方向是 RL 双旋，旋转后到根的是 25 而不是 16。把"哪边重 → 哪边旋"搞反是 AVL 旋转最经典的失误。

B

没意识到失衡需要旋转。插入 23 后只检查了"23 是否合法插入"——比较 23 < 30、23 < 25 走到 25 的左空位插入——但没回头检查祖先结点的平衡因子。结果 BF(20) = -2 失衡被忽略，于是认为根仍是 20。AVL 插入后沿插入路径向上回溯检查 BF 这一步常被遗漏。

C

误以为新插入的 23 会被旋转拎到根。RL 双旋上升到根的是失衡点的"右子树的左孙子"——此题是 25（20 的右孩子 30 的左孩子）；不是新插入的 23（更深一层的曾孙）。混淆"中间结点"和"新结点"是 RL/LR 双旋的高频误区。

总解析

第一步：插入 23，定位插入路径。

按 BST 规则比较：23 < 30 → 走 30 的左；23 < 25 → 走 25 的左；25 的左空 → 在那里挂上 23。插入后的初始树：

第二步：沿插入路径向上检查平衡因子（BF = 左子树高 − 右子树高）。

结点	左子树高	右子树高	BF	状态
23	0	0	0	✓
25	1（含 23）	0	+1	✓
30	2（25→23）	1（40）	+1	✓
20	1（16）	3（30→25→23）	−2	✗ 失衡

第三步：判断旋转类型。

失衡点 20 的 BF = −2（右重）；其右孩子 30 的 BF = +1（左重）。"父右子左 → RL 双旋"。

第四步：执行 RL 双旋。

RL 双旋的本质：先把 30 与 25 这一对"右-左"绕成一条直线（先右旋 30），再统一左旋 20。

1. 对 30 做右旋（25 上升取代 30 的位置，30 变成 25 的右孩子，25 原右孩子接到 30 的左空位）：

旋转 30 子树前：

旋转 30 子树后：

整棵树临时形态：

2. 对 20 做左旋（25 上升取代 20 的位置，20 变成 25 的左孩子，25 原左孩子 23 接到 20 的右空位）：

旋转后：

第五步：读出根。

新根是 25。整棵 AVL 树的最终形态：

最终答案是 D（25）。

AVL 旋转口诀（速查）：失衡点 BF 与孩子 BF 同号 → 单旋（LL 或 RR）；异号 → 双旋（LR 或 RL）。双旋后上升到根的是孙子（中间结点），不是新插入的曾孙。