题目

已知平衡二叉树 (AVL 树) 高度为 4（根节点高度记为 1），则其根节点的左右子树的节点数之差最多为（）。

错因

A

把"平衡因子绝对值 ≤ 1"误解成"左右子树节点数之差 ≤ 1"。AVL 的平衡条件约束的是子树高度差，而不是节点数差。哪怕高度只差 1，节点数也可以差很多——比如高度 3 的满二叉树有 7 节点，高度 2 的最少节点 AVL 子树只有 2 节点，差 5。

B

可能用"左子树最多节点 − 右子树最多节点"的思路：左右都最多时（都是高度 3 的满二叉树），各 7 节点，差 0，并不是 2。或者用"高度 3 满 7 − 高度 2 满 5 = 2"，但这要求两边都"满"，没把"右边可以最瘦"利用起来。

C

按"AVL 严格平衡 → 左右子树高度必须相等"算，左右都取高度 3：左最多 7、右最少 4（高度 3 的最少节点 AVL：N(3)=N(2)+N(1)+1=2+1+1=4）→ 差 3。错在"左右子树高度必须相等"——AVL 允许左右子树高度差为 1，本题让一棵高 3、另一棵高 2 才能拉开节点差。

总解析

条件回顾：AVL 树高度 4（根算第 1 层），求根的左右子树节点数差的最大值。

思路：让一棵子树尽量胖、另一棵尽量瘦。

Step 1：高度约束

整棵树高度 4 → 至少有一棵子树高度 3（否则整树高度只到 3）。AVL 平衡条件允许另一棵子树高度比这棵差 1，即高度 2。

最佳分配：胖的子树高 3，瘦的子树高 2。

Step 2：胖子树最多节点

高度 3 的二叉树最多节点 = 满二叉树 = 。

Step 3：瘦子树最少节点（AVL 高度 h 最少节点的递推）

h	1	2	3	4
N(h)	1	2	4	7

高度 2 的最少节点 = N(2) = 2。

Step 4：节点数之差

举例验证（一棵高度 4 的合法 AVL）：

                root
               /    \
            (高3满)  (高2最少)
              7节点    2节点

整棵树高度 4，根的左右子树高度差 |3-2|=1 ≤ 1（AVL 合法），节点差 5。

最终答案是 D。