题目

在下图所示的 5 阶 B 树 T 中，删除关键字 260 之后需要进行必要的调整，得到新的 B 树 T1。下列选项中，不可能是 T1 根结点中关键字序列的是( )。

结构（文字版）：5 阶 B 树（每个非根非叶结点 keys 数 ∈ [2, 4]，孩子数 ∈ [3, 5]；根结点 keys 数 ∈ [1, 4]）。

• 根：[60, 90, 260, 350]（4 个 key，5 个孩子）
• 5 个叶子从左到右：
  • C1 = [30, 50]
  • C2 = [70, 80, 85]
  • C3 = [100, 110]
  • C4 = [280, 300]
  • C5 = [400, 500]

子树边界关系：60 < C2 < 90 < C3 < 260 < C4 < 350 < C5。

错因

A

A 的根 [60, 90, 280] 是合法情形之一：用后继 280 替换 260，C4 因失去 280 变成 [300]（下溢，仅 1 个 key < 最少 2 个）。左兄 C3=[100,110] 与右兄 C5=[400,500] 都只有 2 个 key，不能借出，只能与右兄 C5 合并：把根中分隔符 350 拉下来，与 [300] 和 [400,500] 合并成新结点 [300,350,400,500]（4 个 key 不溢出）。根少了一个 key 350，变为 [60, 90, 280]。所以 A 是可能的。选 A 当作"不可能"，是没穷举完合并方向。

B

B 的根 [60, 90, 350] 也是合法情形之一。可以从两条路径达到：

1. 用前驱 110 替换 260，根暂变 [60, 90, 110, 350]，C3 变 [100] 下溢；左兄 C2=[70,80,85] 共 3 个 key，与 C3=[100] 合并需 3+1+1(分隔符 90)=5 个 key 超 4 不可行。改用与右兄合并：拉下分隔符 110，把 C3=[100] 与 C4=[280,300] 合成 [100,110,280,300]，根少 110 变 [60, 90, 350]。
2. 用后继 280 替换 260，C4 变 [300] 下溢，与左兄 C3=[100,110] 合并：拉下分隔符 280，新结点 [100,110,280,300]，根少 280 变 [60, 90, 350]。

所以 B 可能。选 B 的人可能只考虑了一种调整路径。

C

C 的根 [60, 85, 110, 350] 是合法情形之一：用前驱 110 替换 260，C3 变 [100] 下溢；从左兄 C2=[70, 80, 85]（有 3 个 key 可借）借调——把根中分隔符 90 下降到 C3 左端，C2 的最大 key 85 升上去当新分隔符。结果 C2=[70, 80]、C3=[90, 100]，根=[60, 85, 110, 350]。所以 C 可能。

总解析

思路：删除内部 key 260，标准做法是用 C3 的最大 key（前驱 110）或 C4 的最小 key（后继 280）替换；替换后底层叶子可能下溢（key 数 < 最少 2），需借/合并修复。穷举所有合法调整路径，能产生的根序列就是"可能"的，剩下的就是答案。

两种替换 × 多种修复路径：

路径	操作	调整后根
① 前驱 110 替换 + 从 C2 借 85	借调（C2 富余）	[60, **85**, 110, 350] → C
② 前驱 110 替换 + 与右兄 C4 合并	合并（左不能借/合）	[60, 90, 350] → B
③ 后继 280 替换 + 与左兄 C3 合并	合并（左右兄都不能借）	[60, 90, 350] → B（同上）
④ 后继 280 替换 + 与右兄 C5 合并	合并	[60, 90, 280] → A

注：路径 ① 中也可考虑"前驱 110 替换 + 与左兄 C2 合并"，但 C2(3 keys) + C3(1 key) + 分隔符 90 = 5 个 key，超过 5 阶 B 树的上限 4，不可行，不会产生新根。

为什么 D [60, 90, 110, 350] 不可能？

[60, 90, 110, 350] 正好是用前驱 110 简单替换 260 后、还没修复 C3 下溢的中间状态。C3 此时只剩 [100]（1 个 key），违反 5 阶 B 树非根结点 keys ≥ 2 的规则——题目要求"必要的调整后"得到合法的 T1，所以这个中间形态绝不能作为 T1 的根。

最终答案是 D。