题目

在下图所示的平衡二叉树中，插入关键字 48 后得到一棵新平衡二叉树。在新平衡二叉树中，关键字 37 所在结点的左、右子结点中保存的关键字分别是( )。

错因

A

误认为旋转后 37 的左孩子是 13。旋转后 37 成为整棵树的根，其左子树根是 24；24 的左孩子是 13，但 13 不是 37 的直接孩子。混淆了"祖孙关系"和"父子关系"。

B

正确判断了 37 的左孩子是 24，但误判右孩子为 48。48 插入后作为 53 的左孩子（RL 旋转中间步），旋转完成后 48 成为 53 的左孩子，而非 37 的右孩子。37 的右孩子是 53，不是 48。

D

误认为 37 的右孩子是 90。90 是 53 的右孩子，在旋转后仍归属于 53 的右子树，未变成 37 的直接右孩子。选 D 的人可能只做了一半旋转（仅右旋 53，未完成后续左旋），得到了错误的中间状态。

总解析

插入 48 的过程：

初始树：24 为根，左 13，右 53（左 37，右 90）。

48 > 24 → 去右子树 53；48 < 53 → 去左子树 37；48 > 37 → 插入为 37 的右孩子。

检查平衡因子（BF = 左子树高 - 右子树高）：

• 37：左 0，右 1（48），BF = −1 ✓
• 53：左高 2（37→48），右高 1（90），BF = +1 ✓
• 24：左高 1（13），右高 3（53→37→48），BF = −2 失衡

失衡点在 24，其右子树（53）BF = +1（左重），属于 Right-Left（RL）双旋 情况。

RL 旋转步骤：

1. 先对 53 做右旋，37 上升：

   • 37 取代 53 成为 24 的右孩子
   • 37 的原右孩子 48 变成 53 的新左孩子
   • 53 变成 37 的右孩子

2. 再对 24 做左旋，37 上升：

   • 37 成为新根
   • 24 变成 37 的左孩子（24 的右孩子变为空）
   • 53（带 48 和 90）成为 37 的右孩子

旋转后的树：

       37
      /  \
    24    53
   /     /  \
  13    48   90

37 的左孩子 = 24，右孩子 = 53。

最终答案是 C（24, 53）。