CDMA码分多址

2026 大纲 三（五）1 信道划分介质访问控制中的 CDM（码分复用）。⚠️ 本篇文件在 physical/ 目录下，但大纲把"信道划分"归在数据链路层的介质访问控制里，内容归属以这条为准。四种复用方式的横向对比在《信道复用技术》。

一、时间不切、频率也不切，怎么还能分开

上一节说 FDM 切频率、TDM 切时间，两者都好理解——两路信号在某一维上根本不重叠，分开是自然的。CDM 反直觉的地方在于：所有站在同一时间、用同一频带发送，信号在信道上直接叠加成一团，接收端却还能把某一个站的数据原样捞出来。

它切的是第三个维度：信号空间里的方向。每个站分到一个 $m$ 位码片序列（每个码片取 +1 或 −1，$m$ 通常取 2 的幂），把它看成 $m$ 维空间的一个向量；任意两个站的码片序列互相正交。正交的向量之间做内积得零，这就是"叠在一起还能分开"的全部依据。

基本设定只有三条，缺一不可：

• 每个站有唯一的 $m$ 位码片序列，两两正交；
• 发比特 1 → 发 $+{\mathbf{S}}_i$，发比特 0 → 发反码 $-{\mathbf{S}}_i$，不发送 → 全 0 序列；
• 🔴 所有站发送的码片序列必须在同一时刻开始（工程上靠全球定位系统提供统一时基）。码片不对齐，正交性就不成立，整套解码机制立刻失效——同步是个隐含前提，不是可有可无的实现细节。

信道上的信号是线性叠加：$\mathbf{P}=\sum d_i{\mathbf{S}}_i$，其中 $d_i\in \{+1,-1,0\}$。

发 0 为什么不能就发全 0？ 因为若"发 0"就是全 0 序列，它与"没有数据"的内积都是 0，接收端完全无法区分这个站是发了 0 还是根本没说话；而一串数据里 0 通常占一半，那就等于这个站有一半时间从信道上消失了。用反码才把三种状态映射到 $+1/-1/0$ 三个互不相同的值上。

二、内积为什么能"提取"出目标站

三条向量性质先立住：

$$\frac{1}{m}{\mathbf{S}}_i\cdot {\mathbf{S}}_i=1,\frac{1}{m}{\mathbf{S}}_i\cdot {\mathbf{S}}_j=0(i\ne j),\frac{1}{m}{\mathbf{S}}_i\cdot (-{\mathbf{S}}_i)=-1$$

第一条是自动成立的：每一项都是 $(\pm 1{)}^2=1$，与序列长什么样无关。第二条才是要靠挑选保证的：逐位乘积里恰好一半 +1、一半 −1，总和才为零。第三条是第一条取负。

接收端想知道站 $i$ 发了什么，只需计算接收信号与站 $i$ 码片序列的规格化内积。把它展开：

$$\frac{1}{m}\mathbf{P}\cdot {\mathbf{S}}_i=d_1\underset{=0}{\underbrace{\frac{1}{m}{\mathbf{S}}_1\cdot {\mathbf{S}}_i}}+\cdots +d_i\underset{=1}{\underbrace{\frac{1}{m}{\mathbf{S}}_i\cdot {\mathbf{S}}_i}}+\cdots +d_N\underset{=0}{\underbrace{\frac{1}{m}{\mathbf{S}}_N\cdot {\mathbf{S}}_i}}=d_i$$

所有其他站的信号都被过滤掉了（它们的相关项都是 0），只剩下目标站发送的那一项。这就是"同时同频发送还能分开"的全部机制：正交性负责消掉别人，自内积为 1 负责把自己原样留下。能这么展开的前提是内积对加法线性。

由此还得到一个最好用的自查点：规格化内积的结果只可能是 $+1$、$-1$、$0$ 三个值之一（分别对应发 1、发 0、未发送）。算出 0.5、2、−1.5 这类数，一定是算错了，或者题给的序列本就不正交。

另一个方向也要留意：叠加信号 $\mathbf{P}$ 的分量可以是任意整数。$N$ 个站活跃时每个分量是 $N$ 个 $\pm 1$（或 0）之和，取值范围 $[-N,+N]$。看到 $-3$、$+2$ 不要以为算错——但绝对值超过活跃站数 $N$ 才是真算错了。

三、怎么自己造一组正交码片序列

考试给的码片序列是现成的，但"能自己造"才说明真懂了"正交"这个约束有多紧——随便写两条 $\pm 1$ 序列几乎必然不正交。

构造方法是 Walsh（沃尔什）矩阵的递归构造：把当前矩阵复制到左上、右上、左下三块，右下块取反。

$$H_1=\left[\begin{array}{c}+1\end{array}\right],H_{2n}=\left[\begin{array}{cc}{H}_n& H_n\\ H_n& -H_n\end{array}\right],H_4=\left[\begin{array}{cccc}+1& +1& +1& +1\\ +1& -1& +1& -1\\ +1& +1& -1& -1\\ +1& -1& -1& +1\end{array}\right]$$

$H_4$ 的四行就是四个互相正交的 4 位码片序列——真题里给的那几组码片，基本都是它的行。

右下角取反为什么就能保证正交？ 取任意两行：若它们同在上半部或同在下半部，正交性由 $H_n$ 内部的正交性递归保证；若一行在上半、一行在下半，则左半段的逐位乘积之和与右半段的逐位乘积之和大小相等、符号相反（因为右下块整体取了反），相加正好抵消为 0。

由 Walsh 矩阵还直接得出一条上限：站数上限 = 码片长度 $m$。$m$ 位码片是 $m$ 维空间的向量，互相正交的向量最多只有 $m$ 个。想加站只能加长码片，而码片一长带宽代价就跟着涨。

四、解码的固定流程

第一步最容易被跳过：接收序列往往不止一个数据位。给的序列长度是 $m$ 的几倍，就有几个数据位，必须先按 $m$ 切段，一段一段地算。

三条实操建议：列表格逐位算，不要在脑子里连乘 8 次（表格三行：$\mathbf{P}$、${\mathbf{S}}_i$、乘积）；结果只能是 $+1/-1/0$，出现别的值立刻回查、不要接着往下算；算完做反向叠加验算，十几秒就能挡掉绝大多数符号错误。

算例一：多个数据位，$m=4$

三个站 A $(1,1,1,1)$、B $(1,-1,1,-1)$、C $(1,1,-1,-1)$ 共享链路，C 从链路上收到

$$(2,0,2,0,0,-2,0,-2,0,2,0,2)$$

问 C 收到 A 发送的数据是什么。

第一步：切段。 序列长 12，$m=4$，所以是 $12/4=3$ 个数据位。切成 $(2,0,2,0)$、$(0,-2,0,-2)$、$(0,2,0,2)$。

第二步：逐段与 ${\mathbf{S}}_A=(1,1,1,1)$ 求规格化内积。

数据位	这一段	逐位乘 ${\mathbf{S}}_A$ 后求和	$÷4$	结论
第 1 位	$(2,0,2,0)$	$2+0+2+0=4$	$+1$	1
第 2 位	$(0,-2,0,-2)$	$0-2+0-2=-4$	$-1$	0
第 3 位	$(0,2,0,2)$	$0+2+0+2=4$	$+1$	1

A 发送的是 101。三个结果都落在 $\{+1,-1,0\}$ 里，自查通过。

顺带看一眼分量的合法范围：这些段里出现了 $\pm 2$，说明每个时刻有 2 个站在发（3 个站里有 1 个没发或者两两抵消），$|P_k|\le N$ 成立。

算例二：$m=8$，四个站一次判完

码片序列 A $(-1,-1,-1,+1,+1,-1,+1,+1)$、B $(-1,-1,+1,-1,+1,+1,+1,-1)$、C $(-1,+1,-1,+1,+1,+1,-1,-1)$、D $(-1,+1,-1,-1,-1,-1,+1,-1)$；接收端收到 $\mathbf{P}=(-1,+1,-3,+1,-1,-3,+1,+1)$（长度正好 8，只有一个数据位）。

逐位乘积	1	2	3	4	5	6	7	8	求和	$d_i$	结论
$\mathbf{P}$	−1	+1	−3	+1	−1	−3	+1	+1	—	—	—
$\times {\mathbf{S}}_A$	+1	−1	+3	+1	−1	+3	+1	+1	8	+1	A 发送了 1
$\times {\mathbf{S}}_B$	+1	−1	−3	−1	−1	−3	+1	−1	−8	−1	B 发送了 0
$\times {\mathbf{S}}_C$	+1	+1	+3	+1	−1	−3	−1	−1	0	0	C 没有发送
$\times {\mathbf{S}}_D$	+1	+1	+3	−1	+1	+3	+1	−1	8	+1	D 发送了 1

反向验算（这一步必做）：把结果重新叠加，看能不能还原 $\mathbf{P}$。

$$\begin{array}{rl}+{\mathbf{S}}_A& =(-1,-1,-1,+1,+1,-1,+1,+1)\\ -{\mathbf{S}}_B& =(+1,+1,-1,+1,-1,-1,-1,+1)\\ \mathbf{0}& =(0,0,0,0,0,0,0,0)\\ +{\mathbf{S}}_D& =(-1,+1,-1,-1,-1,-1,+1,-1)\end{array}$$

逐位相加得 $(-1,+1,-3,+1,-1,-3,+1,+1)=\mathbf{P}$ ✓。这一步只花十几秒，却能挡住绝大多数符号错误。

算例三：反过来构造叠加信号

三个站用 $H_4$ 的前三行：A $(+1,+1,+1,+1)$、B $(+1,-1,+1,-1)$、C $(+1,+1,-1,-1)$；某一位时间内 A 发 0、B 不发、C 发 1。

先把数据翻译成各站实际发出的向量：$-{\mathbf{S}}_A=(-1,-1,-1,-1)$、$\mathbf{0}=(0,0,0,0)$、$+{\mathbf{S}}_C=(+1,+1,-1,-1)$；逐位相加得

$$\mathbf{P}=(0,0,-2,-2)$$

拿 A 验一下：$d_A=\frac{1}{4}[0+0+(-2)+(-2)]=-1$，确实是"A 发送了 0" ✓。

交互可视化

加载可视化中...

五、扩频换来了什么

CDMA 不切时间、不切频率，代价全部落在带宽上：每个数据比特被扩成 $m$ 个码片，故码片速率 $=m\times$ 数据率、占用带宽 $=m\times$ 原始信号带宽。这就是它又叫"扩频通信"的原因。

而 $m$ 位码片只支持 $m$ 个站，所以"带宽 × 站数"与不复用时持平——CDMA 不凭空产生容量。它换来的是另外四样：

CDMA 的实际好处	原因
抗窄带干扰	窄带干扰源在解扩时被乘上码片序列，能量摊到 $m$ 倍宽的频带上，落进接收带内的部分只剩 $1/m$
保密性好	不知道码片序列的人，收到的只是一团看不出结构的噪声
无需协调即可接入	不像 TDM 要分配时隙、FDM 要分配频段，新站只要拿到一个未被占用的正交序列就能直接发
软容量	站数略微超过 $m$ 时不是硬性拒绝，而是各站信噪比逐渐下降——这是频分／时分做不到的

最后分清两个名字：CDM 是复用技术（在编码维度上复用一条信道），CDMA 是把它用于多个站点接入时的说法（Multiple Access = 多址）。强调"多个站接入"就用 CDMA。

本节小结

1. CDMA 靠正交性分离信号：所有站同时同频发送，每站一个 $m$ 位 $\pm 1$ 码片序列且两两正交，并且必须同步开始——不对齐则正交性失效、整套机制崩溃。发 1 → $+\mathbf{S}$，发 0 → $-\mathbf{S}$，不发 → 全 0；用反码而不是全 0，是为了让"发 0"与"不发"落在两个不同的内积值上。
2. 接收就是一次规格化内积 $d_i=\frac{1}{m}\mathbf{P}\cdot {\mathbf{S}}_i$：内积对加法线性，其余各项按正交性归零，只剩 $d_i$。结果只可能是 $+1/-1/0$，这是最好用的自查点；叠加信号分量的合法范围是 $[-N,+N]$。
3. 正交序列可由 Walsh 矩阵递归构造，右下块取反保证跨半部两行左右两段内积等值反号；由此得出站数上限 = 码片长度 $m$。代价是扩频——带宽扩大 $m$ 倍，"带宽 × 站数"与不复用持平，换来的是抗窄带干扰、保密性、免协调接入与软容量，不是凭空多出来的容量。

考点速记

本节在真题里被考过的形式只有一种，但它是物理层唯一一道纯计算的"死题"，动作固定、不出意外：

给各站码片序列与某站收到的叠加序列，问某个站发送的数据是什么（cn-2014-37）。四步：

1. 先按码片长度 $m$ 切段。接收序列长度是 $m$ 的几倍，就有几个数据位。这一步最容易漏——题面给 12 个数、码片长 4，那是 3 个数据位而不是一个。
2. 对每一段，与目标站的码片序列逐位相乘再求和。
3. 除以 $m$，得到 $+1$（发 1）、$-1$（发 0）或 $0$（未发送）。
4. 自查：结果不是这三个值之一就一定算错了。

题面问的是"C 收到 A 发送的数据"，用的就是 ${\mathbf{S}}_A$——接收方是谁不影响算法，用哪个站的码片序列取决于你想解出谁的数据。

易错：接收序列要先按 $m$ 切段。 把 12 个数当成一个数据位去算，会得到一个不在 $\{+1,-1,0\}$ 里的数，而这时往往已经来不及回头了。

易错："发 0"发的是反码 $-\mathbf{S}$，不是全 0 序列。 全 0 表示这个站没有发送。三种状态对应三个不同的内积值，混起来就分不出"发了 0"和"没说话"。

易错：规格化内积要除以 $m$。 忘了除会得到 $\pm m$，虽然符号对但不符合自查条件；如果题目问的是"内积值"而不是"数据"，这一步的差别就直接决定对错。

易错：叠加信号的分量可以是 $\pm 2$、$\pm 3$，那是多个站信号相加的结果，不是码片序列本身。只有绝对值超过活跃站数才说明算错。

易错：同步是隐含前提。 凡选项里说"CDMA 各站不需要同步"或"码片序列不必对齐"，一律错——不对齐则正交性不成立。

教材出处

• 谢希仁《计算机网络》（第 8 版）p60（式 2-3）：给出码片序列正交性的定义式与举例——"例如，向量 $\mathbf{S}$ 为 $(-1-1-1+1+1-1+1+1)$，同时设向量 $\mathbf{T}$ 为 $(-1-1+1-1+1+1+1-1)$，这相当于 T 站的码片序列为 00101110。将向量 $\mathbf{S}$ 和 $\mathbf{T}$ 的各分量值代入 (2-3) 式就可看出这两个码片序列是正交的。不仅如此，向量 $\mathbf{S}$ 和各站码片反码的向量的内积也是 0"；本篇"0 记作 −1、1 记作 +1"的书写约定即出自此处。
• 同书 p61（式 2-4 及 2.4.3 节正文）：给出"任何一个码片向量和该码片向量自己的规格化内积都是 1"的推导 $\frac{1}{m}\mathbf{S}\cdot \mathbf{S}=\frac{1}{m}\sum S_i^2=\frac{1}{m}\sum (\pm 1{)}^2=1$，以及"一个码片向量和该码片反码的向量的规格化内积值是 −1"。同页给出发送规则："每一个站所发送的是数据比特和本站的码片序列的乘积，因而是本站的码片序列（相当于发送比特 1）和该码片序列的二进制反码（相当于发送比特 0）的组合序列，或什么也不发送（相当于没有数据发送）"；并明确了本篇强调的同步前提——"我们还假定所有的站所发送的码片序列都是同步的，即所有的码片序列都在同一个时刻开始。利用全球定位系统 GPS 就不难做到这点"。
• 同书 p61 还给出了内积解码为何有效的原始论证："X 站使用它得到的码片向量 $\mathbf{S}$ 与接收到的未知信号进行求内积的运算……根据叠加原理……求内积得到的结果是：所有其他站的信号都被过滤掉（其内积的相关项都是 0），而只剩下 S 站发送的信号。当 S 站发送比特 1 时，在 X 站计算内积的结果是 +1，当 S 站发送比特 0 时，内积的结果是 −1"；并以 $\mathbf{S}\cdot {\mathbf{T}}_x$ 为例说明"相加的 8 项中的 +1 和 −1 各占一半，因此总和一定是零"——本篇"逐位乘积恰好一半 +1 一半 −1"的解释即据此。
• 同书 p61（图 2-20 及正文）：给出扩频的量化关系——"设 CDMA 将每一个码元扩展为 8 个码片"，可与本篇"码片速率 = $m$ × 数据率、带宽扩大 $m$ 倍"相互印证。

相关知识

信道复用技术（FDM/TDM/WDM/CDM）｜通信基础（信道/信号/调制）｜ALOHA 协议｜无线局域网

上一篇信道复用技术下一篇传输介质

相关文章

• 通信基础
• 奈奎斯特定理与香农定理
• 编码与调制
• 信道复用技术
• 传输介质
• 物理层设备

交互体验

前往完整可视化页面 →

真题练习

相关真题（1题）

2014Q372分