浮点数表示（IEEE 754）

大纲定位

二（四）1　浮点数的表示：IEEE 754 标准

要求：掌握单精度/双精度的字段划分与偏置值，能在机器数与真值之间双向转换，识别规格化数、非规格化数与三类特殊值，并知道表数范围与精度各由谁决定。

浮点数的加/减运算（对阶、尾数运算、规格化、舍入）见 浮点数运算。

考情分析

这一节的题绝大多数是同一件事的正反两面：给十六进制求真值、给真值求十六进制。会做这两个方向，一半的分就到手了。剩下一半分散在四处——非规格化数、舍入、表数范围、精度够不够——每一处都只有一两句话的知识量，但没见过就一定不会。下面按这个顺序讲。

浮点数的一般格式

$$N=(-1{)}^S\times M\times 2^E$$

• $S$：符号位（0 正 1 负）
• $E$：阶码（指数），决定表示范围
• $M$：尾数（有效数字），决定精度

总位数固定时，阶码位数越多范围越大、尾数位数越多精度越高，两者此消彼长。

IEEE 754 标准格式

字段	单精度 float（32 位）	双精度 double（64 位）
符号 $S$	1 位，$[31]$	1 位，$[63]$
阶码 $E$	8 位，$[30:23]$	11 位，$[62:52]$
尾数 $M$	23 位，$[22:0]$	52 位，$[51:0]$
偏置值 bias	$2^7-1=127$	$2^{10}-1=1023$
有效位数	24 位（含隐含 1）	53 位（含隐含 1）

规格化数

尾数形式为 $1.xxx\dots x$，最高有效位固定为 1，隐含不存储，白省一位精度。

$$\text{真值}=(-1{)}^S\times 1.M\times 2^{E-\text{bias}}$$

阶码范围 $1\le E\le 254$（单精度），即真实指数 $-126\le e\le 127$。

特殊值与非规格化数

阶码 $E$	尾数 $M$	含义	真值
全 0	$=0$	$\pm 0$	正零负零，比较时相等
全 0	$\ne 0$	非规格化数	$(-1{)}^S\times 0.M\times 2^{1-\text{bias}}$
全 1	$=0$	$\pm \mathrm{\infty }$	如 $1/0$
全 1	$\ne 0$	NaN	如 $\sqrt{-1}$、$0/0$
其他	任意	规格化数	$(-1{)}^S\times 1.M\times 2^{E-\text{bias}}$

非规格化数的指数是 $1-\text{bias}$，不是 $0-\text{bias}$

单精度非规格化数的真实指数固定为 $\mathbf{-}\mathbf{126}$，不是 $-127$。

原因：这样才能和最小规格化数无缝衔接。最大的非规格化数是 $(1-2^{-23})\times 2^{-126}$，紧挨着最小规格化数 $1.0\times 2^{-126}$，中间不留空隙。如果用 $-127$，两者之间就会断层。

非规格化数的作用就是填补 0 到最小规格化数之间的空隙（渐进下溢）。

为什么阶码用移码

阶码使用移码（偏置码）而非补码，有两个好处：

1. 比较大小可以直接按位模式比（见后文"浮点数怎么比大小"）
2. 全 0 阶码腾出来给零和非规格化数，全 1 腾给无穷和 NaN

十六进制 ↔ 真值：两个方向的固定流程

方向一：机器数 → 真值

1. 十六进制展开成 32 位二进制
2. 按 1 / 8 / 23 切开
3. 先看阶码是不是全 0 或全 1——这一步决定走哪条公式
4. 规格化数：$e=E-127$，尾数补上隐含的 1
5. 写成 $(-1{)}^S\times 1.M\times 2^e$

方向二：真值 → 机器数

1. 把绝对值写成二进制（整数部分 + 小数部分）
2. 规格化成 $1.xxx\times 2^e$
3. $E=e+127$，转 8 位二进制
4. 小数点后的位填进尾数字段，右边补 0 补满 23 位
5. 拼成 32 位再转十六进制

常用二进制小数速查

$0.5=2^{-1}={0.1}_2$，$0.25={0.01}_2$，$0.125={0.001}_2$，$0.0625={0.0001}_2$。

$0.375=0.25+0.125={0.011}_2$，$0.4375=0.25+0.125+0.0625={0.0111}_2$，$0.75={0.11}_2$。

考场上把要转的小数拆成这几个的和，比反复乘 2 快得多。

哪些数能被精确表示

判据只有一条：一个十进制小数能用有限位二进制小数精确表示，当且仅当它化成最简分数后，分母是 2 的幂。

数	最简分数	分母	能否精确表示
2.0	$2/1$	$1=2^0$	✓
2.5	$5/2$	$2^1$	✓
1.25	$5/4$	$2^2$	✓
0.4375	$7/16$	$2^4$	✓
1.2	$6/5$	5	✗
0.1	$1/10$	10	✗

分母里只要含有 2 以外的质因子（5、3……），二进制展开就是无限循环的，只能截断存储。这就是 0.1 + 0.2 != 0.3 的根源。

判断技巧：看小数部分的分母。$0.5/0.25/0.125/0.375/0.75$ 这一族全是 2 的幂分母，能精确；凡是 $0.1、0.2、0.3、1.2$ 这种十进制里"整"的，二进制里几乎都不整。

舍入

尾数放不下时必须舍入。IEEE 754 规定四种模式：

模式	规则	别名
就近舍入（中间值取偶）	舍到最近的可表示数；正好在两个可表示数正中间时，取尾数末位为 0（偶数）的那个	默认模式
朝 $+\mathrm{\infty }$ 舍入	总取数轴上右边那个可表示数	正向舍入、朝上舍入
朝 $-\mathrm{\infty }$ 舍入	总取数轴上左边那个可表示数	负向舍入、朝下舍入
朝 $0$ 舍入	直接截断丢弃多余位，取更靠近原点的那个	截断、恒舍法

就近舍入的实际操作分两种情况：

1. 不是正中间（多数情况）：就是普通的"0 舍 1 入"——看被丢弃部分是大于还是小于半个末位。
2. 正好是正中间：此时"就近"无从选择，强制让结果的最低有效位为 0。若舍入后末位是 1，则末位加 1；否则不变。

别把"取偶"当成主规则

题面写着"就近舍入（中间值取偶数）"时，那只是在报模式名。绝大多数题里被丢弃的部分并不是恰好一半，取偶规则根本不会触发，你要做的就是普通的 0 舍 1 入。

先判断"是不是正中间"，再决定用哪条。反过来就会算错。

表数范围与精度：四个数别混

这四个量长得像，问法只差几个字，答案完全不同：

问的是	单精度的答案	怎么来的
最小规格化正数	$1.0\times 2^{-126}$	$E_{min}=1$，$e=1-127=-126$，尾数最小是 $1.0$
最小正数（含非规格化）	$2^{-149}$	非规格化最小：$2^{-23}\times 2^{-126}$
最大正数 / 能表示的最大正整数	$(2-2^{-23})\times 2^{127}=2^{128}-2^{104}$	$E_{max}=254$，$e=127$，尾数最大是 $1.11\dots 1=2-2^{-23}$
能精确表示的最大整数	$2^{24}$	有效位只有 24 位，$2^{24}+1$ 就已经存不下了

第三行和第四行是两个完全不同的问题

• "能表示的最大正整数"问的是范围上限——答案是 $2^{128}-2^{104}$，一个天文数字。
• "能精确表示的最大整数"问的是精度上限——答案是 $2^{24}$，只有一千六百多万。

超过 $2^{24}$ 之后，浮点数仍然"表示得出"更大的整数，只是表示得不精确了：$2^{24}+1$ 会被存成 $2^{24}$。范围和精度是两码事，题面里"能表示"和"能精确表示"这几个字必须逐字读。

浮点数怎么比大小

移码阶码的设计就是为了这件事：

1. 先看符号位。$S=0$ 的一定大于 $S=1$ 的（$\pm 0$ 除外）。
2. 同为正数：直接把整个 32 位当无符号整数比，大的就大——因为阶码在高位、尾数在低位，字典序正好等于数值序。
3. 同为负数：反过来——位模式作为无符号数越大，绝对值越大，值反而越小。

第 3 条是最容易翻车的。两个负浮点数，谁的阶码大谁的绝对值大，而绝对值大的那个更小。做题时先把两个数的符号和真实指数都写出来，再下结论，别凭感觉。

整数与浮点数的选型

题目给一个取值范围，问该用哪种类型——判断分两步：

1. 范围够不够：$n$ 位补码整数的范围是 $[-2^{n-1},2^{n-1}-1]$。
2. 精度够不够：浮点数只有 24 位（单精度）/ 53 位（双精度）有效位，超过 $2^{24}$ / $2^{53}$ 的整数就不能保证精确。

优先用整型

只要范围装得下，整数一定优于浮点数：精确、且运算快。只有范围装不下时才考虑浮点，此时还要检查有效位数够不够。

例如取值范围 $\pm 2^{40}$：32 位整数装不下（上限 $2^{31}-1$），单精度范围够但只有 24 位有效位、$2^{40}$ 量级的整数存不准，所以必须用双精度（53 位有效位 $>40$）。

关于 int 与 float 相互转换时具体丢什么，见 C 语言类型转换。

交互可视化

加载可视化中...

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考场动作清单

拿到一道 IEEE 754 题，按这个顺序走：

1. 展开成二进制，按 1/8/23 切开。
2. 先看阶码：全 0 → 走非规格化公式（隐含位是 0，指数固定 $-126$）；全 1 → 是 $\mathrm{\infty }$ 或 NaN；否则才是规格化数。
3. 规格化数：$e=E-127$，尾数前面补回隐含的 1。
4. 反方向（真值 → 编码）时，尾数右边补 0 补满 23 位再拼十六进制，别少补。
5. 看清题眼："能表示"还是"能精确表示"，"最小正数"还是"最小规格化正数"。

例题

例 1（机器数 → 真值，规格化）：单精度机器数 4730 0000H，求真值。

解：展开 0100 0111 0011 0000 0000 0000 0000 0000

• $S=0$
• $E=1000{1110}_2=142$，$e=142-127=15$
• 尾数字段 $=0110000\dots$，补回隐含 1 得 ${1.011}_2=1.375$

$$x=1.375\times 2^{15}$$

例 2（机器数 → 真值，非规格化）：单精度机器数 8020 0000H，求真值。

解：展开 1000 0000 0010 0000 0000 0000 0000 0000

• $S=1$
• $E=00000000$ 全 0 $\Rightarrow$ 非规格化数，隐含位是 0，指数固定 $-126$
• 尾数字段 $=0100000\dots$，即 ${0.01}_2=0.25=2^{-2}$

$$x=-0.25\times 2^{-126}=-2^{-2}\times 2^{-126}=\mathbf{-}{\mathbf{2}}^{\mathbf{-}\mathbf{128}}$$

若忘了阶码全 0 这一步，会当成规格化数算出 $-1.01\times 2^{-127}$——那正是准备好的干扰项。

例 3（真值 → 机器数）：把 $-0.4375$ 写成单精度机器数。

解：$0.4375={\displaystyle \frac{7}{16}}={0.0111}_2=1.11\times 2^{-2}$

• $S=1$
• $e=-2$，$E=-2+127=125=0111{1101}_2$
• 尾数字段 $=1100000\dots$（补满 23 位）

拼起来 1 01111101 11000000000000000000000 = 1011 1110 1110 0000 0000 0000 0000 0000 = BEE0 0000H

例 4（舍入）：采用就近舍入（中间值取偶），求 $12.1$ 的单精度机器数。

解：$12.1=1100.0001100110011001100{\dots }_2$（$0.1$ 的二进制是无限循环的）

规格化：$1.1000001100110011001100110011\dots \times 2^3$

• $S=0$，$E=3+127=130=1000{0010}_2$
• 取尾数前 23 位：$10000011001100110011001$

先写出截断结果：0 10000010 10000011001100110011001 = 4141 9999H

再看舍入：被丢掉的部分是 $10011001\dots$，第一位是 1 且后面还有 1，说明严格大于半个末位——不是正中间，取偶规则不触发，按 0 舍 1 入直接进位：

$$\text{4141 9999H}+1=\text{4141 999AH}$$

例 5（表数范围）：单精度能表示的最大正整数是多少？最小规格化正数呢？

解：

• 最大：$E_{max}=254\Rightarrow e=127$，尾数最大 $1.11\dots 1_2=2-2^{-23}$

$$(2-2^{-23})\times 2^{127}=2^{128}-2^{104}$$

• 最小规格化正数：$E_{min}=1\Rightarrow e=-126$，尾数最小 $1.0$，即 $1.0\times 2^{-126}$

例 6（精确表示）：$1.2$、$1.25$、$2.0$、$2.5$ 中哪个不能被 IEEE 754 精确表示？

解：$1.25=5/4$、$2.5=5/2$、$2.0=2/1$，分母都是 2 的幂，可以精确表示。$1.2=6/5$，分母含质因子 5，二进制展开无限循环，不能精确表示。

例 7（比大小）：两个 float 变量 $x$、$y$ 的机器数为 CC900000H 和 B0C00000H，求它们的大小关系。

解：

	符号	阶码 $E$	$e$
$x$ = CC900000H	1（负）	$1001{1001}_2=153$	$26$
$y$ = B0C00000H	1（负）	$0110{0001}_2=97$	$-30$

两个都是负数，符号相同。$x$ 的绝对值约 $2^{26}$，$y$ 的绝对值约 $2^{-30}$，$|x|\gg |y|$。

负数中绝对值大的更小，故 $x<y$，且符号相同。

例 8（类型选型）：整型参数 $\alpha$、$\beta$ 的取值范围分别为 $\pm 2^{20}$、$\pm 2^{40}$，各该用什么类型？

解：

• $\alpha$：$2^{20}<2^{31}-1$，32 位整数装得下，精确且快。
• $\beta$：$2^{40}>2^{31}-1$，整数装不下。单精度范围虽够，但有效位只有 24 位，$2^{40}$ 量级的整数存不准。双精度有 53 位有效位，$53>40$，能精确表示。

答：$\alpha$ 用 32 位整数，$\beta$ 用双精度浮点数。

例 9（同一位模式两种读法）：变量 $x$ 的类型只可能是 int 或 float，机器数为 C800 0000H，$x$ 的值可能是多少？

解：两种读法各算一遍。

• 按 int 补码读：最高位为 1，是负数。$\text{C800 0000H}=-(2^{32}-\text{C800 0000H})=-\text{38000000H}=-939524096=-7\times 2^{27}$
• 按 float 读：$S=1$，$E=1001{0000}_2=144$，$e=17$，尾数字段全 0，得 $-1.0\times 2^{17}=-2^{17}$

两个候选值里，选项中出现的是 $-7\times 2^{27}$。

这类题的做法是固定的：两种解释都算出来，再去选项里对。别只算一种。

常见丢分点

1. 忘了先看阶码是不是全 0——非规格化数用错公式，指数差一。
2. 尾数没补满 23 位就去拼十六进制。
3. 把"能表示的最大正整数"和"能精确表示的最大整数"搞混。
4. 舍入时不判断是否正中间，直接套"取偶"。
5. 两个负浮点数比大小时，把绝对值大的当成更大。

考点清单

• 单精度 1+8+23、偏置 127；双精度 1+11+52、偏置 1023
• 规格化数：隐含前缀 1，真值 $=(-1{)}^S\times 1.M\times 2^{E-127}$
• 非规格化数：阶码全 0，隐含前缀 0，指数固定 $1-\text{bias}=-126$
• 特殊值：全 0 阶码 → $\pm 0$ / 非规格化；全 1 阶码 → $\pm \mathrm{\infty }$ / NaN
• 能精确表示 $\iff$ 最简分数的分母是 2 的幂
• 四种舍入模式；就近舍入只有正中间时才用"取偶"，否则就是 0 舍 1 入
• 最小规格化正数 $1.0\times 2^{-126}$；最大正数 $2^{128}-2^{104}$；能精确表示的最大整数 $2^{24}$
• 比大小：正数按位模式直接比；负数反过来，位模式大的值反而小
• 选型先看范围、再看有效位数；范围够就用整型

教材出处

• 袁春风《计算机组成与系统结构（第 3 版）》§3.2 浮点数的表示：IEEE 754 格式与规格化/非规格化数；§3.4 四种舍入方式与表 3.4 舍入示例（p83~84）

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