定点乘法（Booth算法）

大纲定位

二（二）3　乘/除运算

大纲原文是「乘/除法运算的基本原理，乘法电路和除法电路的基本结构」——注意是两件事：原理层要懂"乘法怎么用加法和移位做出来"，结构层要能看懂乘法器的部件构成。

手推 Booth 表属于理解原理的手段，练一两遍即可，不必追求速度。

大纲这一条还要求「电路的基本结构」，那部分见 乘法电路与除法电路的基本结构——真题里除法/乘法的综合题考的正是那里。

考情分析

408 的题型只有单项选择题和综合应用题两类。真题层面对乘法的考查落在实现层次与电路结构上：ALU + 移位器的多周期方案与阵列乘法器的单周期方案有何差别、快在哪、控制逻辑做什么。逐位手工模拟 Booth 的题型目前只在练习题中出现。

原码一位乘法（基础）

在学 Booth 之前先回顾原码乘法：

• 符号位单独处理：结果符号 = 两操作数符号的异或
• 数值位：部分积累加右移

原码乘法不能直接处理负数，需要先取绝对值。

原码一位乘完整例

求 $|X|=0.1101$ 与 $|Y|=0.1011$ 的乘积数值部分（部分积 $P$ 用双符号位，$Q$ 初始放乘数，每步看 $Q$ 最低位决定是否加 $|X|$，然后 $(P,Q)$ 整体右移一位）：

步骤	判断与操作	$P$（双符号）	$Q$
初始		00.0000	1011
第 1 步	末位 1：$P+|X|$	00.1101	1011
右移		00.0110	1101
第 2 步	末位 1：$P+|X|$	01.0011	1101
右移		00.1001	1110
第 3 步	末位 0：不加	00.1001	1110
右移		00.0100	1111
第 4 步	末位 1：$P+|X|$	01.0001	1111
右移		00.1000	1111

积的数值部分 = $P$ 拼 $Q$ = $0.10001111$。验证：$\frac{13}{16}\times \frac{11}{16}=\frac{143}{256}={0.10001111}_2$ ✓

两个细节是采分点：中间出现 01.xxxx（绝对值暂时超过 1）是正常的——双符号位就是为这个准备的，右移一位后回到正常范围；右移时 $P$ 的最低位移入 $Q$ 的最高位，$Q$ 中被用掉的乘数位逐个移出，最终 $Q$ 里装的全是积的低位。

Booth 算法原理

Booth 算法直接对补码进行乘法运算，符号位参与运算，不需要单独处理符号。

核心思想

对乘数 $Y$ 相邻两位进行检查（当前位 $y_i$ 和前一位 $y_{i-1}$）：

$y_i$	$y_{i-1}$	操作
0	0	部分积不变（+0）
0	1	部分积加 $[X{]}_{\mathrm{补}}$（即 $+X$）
1	0	部分积加 $[-X{]}_{\mathrm{补}}$（即 $-X$）
1	1	部分积不变（+0）

将 01 视为"1 的开始"（加 X），10 视为"1 的结束"（减 X），这是对 Booth 的直觉解释。

寄存器组结构

$$[A\mid Q\mid Q_{-1}]$$

• $A$：累加寄存器，初始为 0。宽度取 $n+2$ 位（$n$ 为字长，本篇例题 $n=4$ 故 $A$ 为 6 位）——比字长多出的两位用于容纳部分积累加过程中的符号扩展，不会溢出
• $Q$：乘数寄存器，存放乘数 $[Y{]}_{\mathrm{补}}$
• $Q_{-1}$：附加位，初始为 0，用于存放 $Q$ 最低位的前一位

算法步骤

设操作数均为 $n$ 位（含符号位），共执行 $n$ 步：

1. 初始化：$A=0$，$Q=[Y{]}_{\mathrm{补}}$，$Q_{-1}=0$
2. 检查 $Q_0$（$Q$ 最低位）和 $Q_{-1}$：
   • $(Q_0,Q_{-1})=01$：$A=A+[X{]}_{\mathrm{补}}$
   • $(Q_0,Q_{-1})=10$：$A=A+[-X{]}_{\mathrm{补}}$
   • $(Q_0,Q_{-1})=00$ 或 $11$：$A$ 不变
3. 对 $[A\mid Q\mid Q_{-1}]$ 执行算术右移 1 位（$Q_{-1}$ 的旧值被 $Q$ 的最低位覆盖，$A$ 的最高位用符号位填充）
4. 重复步骤 2-3，共 $n$ 次
5. 最终乘积取 $[A\mid Q]$ 的低 $2n$ 位（$A$ 高出的两位是符号扩展，丢弃）

算术右移

算术右移时，符号位保持不变，各位右移，最低位移入下方寄存器。双符号位中，两个符号位一起保持不变。

交互可视化

加载可视化中...

典型例题

例题：用 Booth 算法计算 $X=+7$，$Y=-6$，设机器字长 4 位（含符号位）。

$[X{]}_{\mathrm{补}}=0111$，$[-X{]}_{\mathrm{补}}=1001$，$[Y{]}_{\mathrm{补}}=1010$

$A$ 取 6 位（$n+2=4+2$），$[X{]}_{\mathrm{补}}=000111$，$[-X{]}_{\mathrm{补}}=111001$

初始：$A=000000$，$Q=1010$，$Q_{-1}=0$

步骤	$Q_0,Q_{-1}$	操作	$A$	$Q$	$Q_{-1}$
初始	—	—	000000	1010	0
第1步加法	0,0	A不变	000000	1010	0
第1步右移	—	右移	000000	0101	0
第2步加法	1,0	A+[-X]	111001	0101	0
第2步右移	—	右移	111100	1010	1
第3步加法	0,1	A+[X]	000011	1010	1
第3步右移	—	右移	000001	1101	0
第4步加法	1,0	A+[-X]	111010	1101	0
第4步右移	—	右移	111101	0110	1

结果 $[A\mid Q]=1111010110$，取低 8 位 11010110。

真值：$+7\times (-6)=-42=-(101010{)}_2$，补码为 11010110，正确。

与原码乘法的对比

特性	原码一位乘法	Booth 算法
处理对象	原码（需取绝对值）	补码（直接运算）
符号处理	单独异或	自动包含在运算中
每步操作	加/不加，右移	加/减/不加，右移
适用场景	正数乘法	带符号数乘法

考点清单

• [ ] Booth 算法的位对检查规则（00/11不变，01加X，10减X）
• [ ] 寄存器组 $[A\mid Q\mid Q_{-1}]$ 的初始状态设置
• [ ] 算术右移的操作（符号位不变，整体右移）
• [ ] 共执行 $n$ 步（$n$ 为含符号位的操作数位数）
• [ ] 乘积取 $[A\mid Q]$ 的低 $2n$ 位（$A$ 高出字长的那两位是符号扩展，不算进结果）
• [ ] 双符号位防止运算过程中的溢出

真题练习

相关真题（3题）

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