定点乘法（Booth算法）

考情分析

Booth 算法是补码乘法的标准方法，408 大题有出过手工模拟 Booth 算法的题目。选择题中也会考核 Booth 算法的步骤数、部分积的累加规则等。

原码一位乘法（基础）

在学 Booth 之前先回顾原码乘法：

• 符号位单独处理：结果符号 = 两操作数符号的异或
• 数值位：部分积累加右移

原码乘法不能直接处理负数，需要先取绝对值。

Booth 算法原理

Booth 算法直接对补码进行乘法运算，符号位参与运算，不需要单独处理符号。

核心思想

对乘数 $Y$ 相邻两位进行检查（当前位 $y_i$ 和前一位 $y_{i-1}$）：

$y_i$	$y_{i-1}$	操作
0	0	部分积不变（+0）
0	1	部分积加 $[X{]}_{\mathrm{补}}$（即 $+X$）
1	0	部分积加 $[-X{]}_{\mathrm{补}}$（即 $-X$）
1	1	部分积不变（+0）

将 01 视为"1 的开始"（加 X），10 视为"1 的结束"（减 X），这是对 Booth 的直觉解释。

寄存器组结构

$$[A\mid Q\mid Q_{-1}]$$

• $A$：累加寄存器，初始为 0（宽度 = 操作数位数 + 1 位符号位，使用双符号位）
• $Q$：乘数寄存器，存放乘数 $[Y{]}_{\mathrm{补}}$
• $Q_{-1}$：附加位，初始为 0，用于存放 $Q$ 最低位的前一位

算法步骤

设操作数均为 $n$ 位（含符号位），共执行 $n$ 步：

1. 初始化：$A=0$，$Q=[Y{]}_{\mathrm{补}}$，$Q_{-1}=0$
2. 检查 $Q_0$（$Q$ 最低位）和 $Q_{-1}$：
   • $(Q_0,Q_{-1})=01$：$A=A+[X{]}_{\mathrm{补}}$
   • $(Q_0,Q_{-1})=10$：$A=A+[-X{]}_{\mathrm{补}}$
   • $(Q_0,Q_{-1})=00$ 或 $11$：$A$ 不变
3. 对 $[A\mid Q\mid Q_{-1}]$ 执行算术右移 1 位（$Q_{-1}$ 的旧值被 $Q$ 的最低位覆盖，$A$ 的最高位用符号位填充）
4. 重复步骤 2-3，共 $n$ 次
5. 最终结果在 $[A\mid Q]$ 中（$2n$ 位）

算术右移

算术右移时，符号位保持不变，各位右移，最低位移入下方寄存器。双符号位中，两个符号位一起保持不变。

交互可视化

加载可视化中...

典型例题

例题：用 Booth 算法计算 $X=+7$，$Y=-6$，设机器字长 4 位（含符号位）。

$[X{]}_{\mathrm{补}}=0111$，$[-X{]}_{\mathrm{补}}=1001$，$[Y{]}_{\mathrm{补}}=1010$

使用双符号位，$[X{]}_{\mathrm{补}}=000111$，$[-X{]}_{\mathrm{补}}=111001$

初始：$A=000000$，$Q=1010$，$Q_{-1}=0$

步骤	$Q_0,Q_{-1}$	操作	$A$	$Q$	$Q_{-1}$
初始	—	—	000000	1010	0
第1步加法	0,0	A不变	000000	1010	0
第1步右移	—	右移	000000	0101	0
第2步加法	1,0	A+[-X]	111001	0101	0
第2步右移	—	右移	111100	1010	1
第3步加法	0,1	A+[X]	000011	1010	1
第3步右移	—	右移	000001	1101	0
第4步加法	1,0	A+[-X]	111010	1101	0
第4步右移	—	右移	111101	0110	1

结果 $[A\mid Q]=1111010110$，取低 8 位 11010110。

真值：$+7\times (-6)=-42=-(101010{)}_2$，补码为 11010110，正确。

与原码乘法的对比

特性	原码一位乘法	Booth 算法
处理对象	原码（需取绝对值）	补码（直接运算）
符号处理	单独异或	自动包含在运算中
每步操作	加/不加，右移	加/减/不加，右移
适用场景	正数乘法	带符号数乘法

考点清单

• [ ] Booth 算法的位对检查规则（00/11不变，01加X，10减X）
• [ ] 寄存器组 $[A\mid Q\mid Q_{-1}]$ 的初始状态设置
• [ ] 算术右移的操作（符号位不变，整体右移）
• [ ] 共执行 $n$ 步（$n$ 为含符号位的操作数位数）
• [ ] 结果在 $[A\mid Q]$ 中，共 $2n$ 位
• [ ] 双符号位防止运算过程中的溢出

相关文章

• 进制与进制转换
• 真值与机器数
• 定点数的编码表示
• C 语言数据类型与转换
• 定点数的移位运算
• 补码加减法与溢出判断
• Booth 乘法
• 恢复余数除法
• 不恢复余数除法
• 浮点数表示（IEEE 754）
• 浮点数运算
• 算术逻辑单元（ALU）
• 数据对齐与大小端
• 奇偶校验与 CRC
• 海明码详解

真题练习

相关真题（3题）

2024Q15选择题2分

详解

整数乘法的硬件与编译实现方式

ALUBooth乘法

2020Q43综合题13分

可视化详解

无符号与有符号乘法的硬件实现综合题

Booth乘法ALU数据表示(综合)

2010Q13选择题2分

详解

8位补码乘法溢出判断

补码加减法溢出判断Booth乘法