不恢复余数除法（加减交替法）

考情分析

加减交替法是恢复余数法的改进版，408 中两种除法都可能考，但加减交替法更常见。核心考察"余数符号决定下一步做加还是做减"的规则，以及最终余数的修正条件。

从恢复余数法推导

恢复余数法中，当余数 $R_{i} < 0$ 时执行三步操作：

R_{i} + Y （恢复） \overset{左移}{\to} 2 (R_{i} + Y) \overset{- Y}{\to} 2 (R_{i} + Y) - Y = 2 R_{i} + Y

如果跳过恢复，直接对负余数左移再加 $Y$ ：

2 R_{i} + Y

两者结果完全相同。这意味着"不够减"时根本不需要恢复，只需记住下一步改做加法即可。

运算规则

R_{i} \geq 0 ⟹ 商 1， R_{i + 1} = 2 R_{i} - Y

R_{i} < 0 ⟹ 商 0， R_{i + 1} = 2 R_{i} + Y

口诀：余数为正做减法，余数为负做加法。每步固定一次加法或减法，步骤数完全固定。

最终余数修正

若最后一步余数为负（末位商 0），需执行一次修正：

R_{修 正} = R_{n} + Y

原因：最后一步不够减时，后续没有左移来"消化"这个负余数，所以需要真正恢复一次。

算法流程

输入：被除数 |X|，除数 |Y|
初始：R = |X|，先做一次试减 R = R - |Y|

if R >= 0: 商首位 1
else: 商首位 0

for i = 1 to n-1:
    R = R << 1              // 左移
    if 上一步余数 >= 0:
        R = R - |Y|         // 减
    else:
        R = R + |Y|         // 加
    判断 R 正负，记录商位

// 最终修正
if R < 0:
    末位商取 0，R = R + |Y|

教材差异

有的教材先移位后运算，有的先运算后移位，两者逻辑等价但中间步骤不同。考试时认准一种写法保持一致。

交互可视化

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例题

例 1：用加减交替法计算 $0.1011 \div 0.1101$ （正数，4 位数值位）

$| X | = 0.1011$ ， $| Y | = 0.1101$ ， $[- | Y |]_{补} = 1.0011$

采用"先运算后左移"的写法：

步骤	操作	余数 $R$	商位
初始		`0.1011`
第 1 步	$R - Y = 0.1011 + 1.0011 = 1.1110$	`1.1110`（负）	商 0
左移		`1.1100`
第 2 步	$R + Y = 1.1100 + 0.1101 = 0.1001$	`0.1001`（正）	商 1
左移		`1.0010`
第 3 步	$R - Y = 1.0010 + 1.0011 = 0.0101$	`0.0101`（正）	商 1
左移		`0.1010`
第 4 步	$R - Y = 0.1010 + 1.0011 = 1.1101$	`1.1101`（负）	商 0

末位余数为负，修正： $R + Y = 1.1101 + 0.1101 = 0.1010$

商 = 0.0110，余数 = $0.1010 \times 2^{- 4}$

与恢复余数法结果完全一致，但全程没有做过恢复操作（除最终修正外）。

例 2：用加减交替法计算 $X = - 0.1000$ ， $Y = 0.1011$

符号处理： $1 \oplus 0 = 1$ ，商为负。

取绝对值 $| X | = 0.1000$ ， $| Y | = 0.1011$ ， $[- | Y |]_{补} = 1.0101$

步骤	操作	余数	商位
第 1 步	$0.1000 + 1.0101 = 1.1101$	`1.1101`（负）	0
左移		`1.1010`
第 2 步	$1.1010 + 0.1011 = 0.0101$	`0.0101`（正）	1
左移		`0.1010`
第 3 步	$0.1010 + 1.0101 = 1.1111$	`1.1111`（负）	0
左移		`1.1110`
第 4 步	$1.1110 + 0.1011 = 0.1001$	`0.1001`（正）	1

商的绝对值 = 0.0101，余数正无需修正。

最终：商 = $- 0.0101$ （原码 $1.0101$ ），余数 = $0.1001 \times 2^{- 4}$ （余数符号与被除数同号，取负）。

与恢复余数法的对比

特性	恢复余数法	加减交替法
每步操作次数	最多 2 次（试减+恢复）	恰好 1 次
步骤数	不固定	固定 $n$ 步
最终修正	不需要	末位余数为负时需修正
硬件效率	低	高，实际计算机采用
控制逻辑	需要条件分支	更规整

补码加减交替法（扩展）

上面讨论的是原码除法。408 偶尔也会涉及补码加减交替法，规则略有不同：

被除数与除数同号：初始做减法
被除数与除数异号：初始做加法
余数与除数同号 → 商 1，下一步做减
余数与除数异号 → 商 0，下一步做加
末位恒置 1（精度损失 $2^{- n}$ ）

补码除法的商直接就是补码表示，不需要单独处理符号。

考点清单

[ ] 加减交替法核心规则：正余数下一步减，负余数下一步加
[ ] 每步操作固定为一次加/减法
[ ] 最终余数为负时需修正 $R = R + Y$
[ ] 与恢复余数法的推导关系： $2 (R + Y) - Y = 2 R + Y$
[ ] 原码除法符号位单独处理（异或），余数符号与被除数相同
[ ] 步骤数固定为 $n$ （数值位位数），效率优于恢复余数法

不恢复余数除法（加减交替法） ​

考情分析 ​

从恢复余数法推导 ​

运算规则 ​

最终余数修正 ​

算法流程 ​

交互可视化 ​

例题 ​

与恢复余数法的对比 ​

补码加减交替法（扩展） ​

考点清单 ​

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