408 计算机组成原理

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定点数编码的转换与书写 ​

2026 大纲 二（一）2　定点数的编码表示（同时是 二（三）整数的表示和运算 的地基）。四种编码的定义式与表示范围见 真值与机器数，本篇只管动手。

真值、二进制、十六进制是同一个数的三种写法 ​

−5、11111011、FBH 说的是同一件事：真值是人理解的形态，二进制机器数是机器里的真实形态，而十六进制只是二进制的书写压缩——一位十六进制严格等于四位二进制，两者之间的转换只是分组，不产生任何计算。

这一节讲的就是这几种形态之间怎么走。整条路线可以画成一张图：

交互可视化 ​

加载可视化中...

一、三种形态之间的路 ​

真值 → 机器数，以 −5、8 位补码为例：

  1. 取绝对值转二进制：|−5|=5=(101)2，补足 7 位数值位 → 0000101
  2. 写原码：符号位 1 → 10000101
  3. 数值位取反 → 11111010（反码）
  4. 末位加 1 → 11111011（补码）
  5. 四位一组转十六进制：1111 1011 → FBH

机器数 → 真值：符号位是 0 就直接按无符号读；是 1 则再求一次补（数值位取反加 1）得到绝对值，再添负号。以 11001100 为例：符号位 1，是负数；数值位 1001100 取反得 0110011，加 1 得 0110100 =52，所以真值 =−52，十六进制写作 CCH。

十六进制 ↔ 二进制，四位一组机械对应：

HexBinHexBinHexBinHexBin
000004010081000C1100
100015010191001D1101
2001060110A1010E1110
3001170111B1011F1111

🔴 四位一组要从最低位往高位分，不足的在高位补 0。定点整数这样分才对得上权重。

⚠️ 位数是编码信息的一部分。 不交代位数，FBH 到底是 8 位还是 16 位截出来的一段就说不清；同一真值在不同位数下机器数不同。所以机器数一律用十六进制书写时，位数信息必须一起写明。

二、两条捷径为什么成立 ​

手算时有两条捷径能省不少步骤，但它们各自有适用边界。

捷径一：扫描法，把"取反"和"加 1"合并成一步——从最低位向左扫描，找到第一个 1；该位及其右侧全部不变，左侧逐位取反。 它在原码 ↔ 补码之间双向可用，两个方向规则完全相同。

🔴 扫描法的输入不能是反码。 它合并的正是"取反"和"加 1"两步；手里已经是反码就只差加 1 了，再去扫描等于把取反做了两遍。动手之前先确认手上这串位处在链条的哪一环。

捷径二：求相反数连符号位一起取反加 1，即 [−X]补=[X]补―+1，取反范围含最高位。这里要和"由补码求原码"分清楚：

🔴 "换编码"与"换数"动的位不一样。 由 [X]补 求 [X]原：只取反数值位、符号位保持，结果是同一个数的另一种编码；由 [X]补 求 [−X]补：全部位取反、含符号位，结果是另一个数。一句话记：换编码不换数，符号位不动；换数不换编码，符号位跟着翻。

另外"取反加 1"是个自逆运算——对同一个补码位串做两次会回到原位串。所以它输入负数的原码数值位就输出补码数值位，输入负数的补码数值位就输出绝对值。

🔴 唯一的例外是最小负数：−2n−1 没有相反数。 对它求补得到的还是它自己（+2n−1 超出了上界），硬件会置溢出标志。这是补码表示范围左右不对称留下的唯一破绽。

顺带记三个任意位数下都成立的边界形态：−1 的补码是全 F（FFH / FFFFH / FFFFFFFFH）；最小负数是 8 后面跟全 0（80H / 8000H / 80000000H）；最大正数是 7 后面跟全 F（7FH / 7FFFH）。

扫描法与"连符号位取反"各自的证明，以及三行对照表（想弄清进位链为什么恰好在第一个 1 处终止、或不放心"符号位也要翻"时展开）

扫描法为什么成立：设位串低端形如 ⋯x1000。加 1 时，末尾的连续 0 全部被"取反"的结果本来是连续 1，加 1 后又全部进位变回 0；第一个 1 被取反成 0，进位再把它变回 1。进位链恰好在第一个 1 处终止，所以从该位往右一切原样，往左只剩取反。

用它把补码 11001100 转回原码：

1|100⏟取反1⏟第一个 1100⏟不变⟶1|0110100

数值位 0110100=52，真值 −52，与取反加 1 的结果一致。

求相反数为什么连符号位：补码的定义是模 2n 下的余数，[X]补+[−X]补≡0(mod2n)，即 [−X]补=2n−[X]补。而 2n−A=(2n−1−A)+1，其中 2n−1 是全 1，用全 1 减 A 就是把 A 的每一位（含最高位）翻转。所以取反的范围天然覆盖符号位。而"由补码求原码"是在已知符号的前提下还原绝对值，符号位是已经定好的信息，不参与运算。

[X]补全位取反加 1[−X]补真值对照
01001100（+76）→10110100−76
11001100（−52）→00110100+52
10000000（−128）→10000000仍是 −128（求补溢出）

最后一行不是笔误：+128 根本无法用 8 位补码表示（上界 +127）。推广到任意位数，最小负数 −2n−1 没有相反数。

三个边界形态的原因也不难看出：−1 的补码是 2n−1，即全 1；最小负数 −2n−1 的补码是 2n−2n−1=2n−1，即最高位为 1、其余全 0。

三、同一串位的两种读法 ​

位模式不变，解释方式变。 一串 8 位 10000110：

怎么读值算法
按无符号数134128+4+2=134，最高位就是数值位
按补码−122最高位是符号位，134−256=−122

两个值相差正好 28=256，这不是巧合：

补码值=无符号值−2n(最高位为 1 时)

机器并不知道该读哪个，也不需要知道——读法由指令决定，位串本身不带类型。寄存器里只有电平：无符号加法与带符号加法指令算出同一串结果位，区别只在置哪些标志、溢出如何判定。高级语言里同理，int 和 unsigned int 变量在内存里的位一模一样，是编译器根据声明选择了不同的指令。

🔴 比较大小时最容易翻车：FFFDH 按 16 位补码是 −3、按无符号是 65533，大小关系完全相反。所以这类题一定要先看清题面问的是哪种解释。

考点速记 ​

  1. 真值、二进制机器数、十六进制机器数是同一个数的三种写法，后两者之间只是分组、不产生计算；四位一组从最低位往高位分，机器数用十六进制书写时位数信息必须一起写明。
  2. 扫描法把"取反"和"加 1"合并成一步，在原码 ↔ 补码双向可用、不能用在反码上；求 [−X]补 要连符号位一起取反加 1，由补码求原码则只动数值位；最小负数 −2n−1 求补必溢出。
  3. 同一位串按无符号与按补码读，最高位为 1 时相差 2n；读法由指令决定，位串本身不带类型。

这一节在真题里被考过的形式（下方「真题练习」里属于本篇的那几道）：

  • 问 n 位补码所能表示的整数范围：[−2n−1, 2n−1−1]。左右不对称，负数比正数多一个——多出来的那个是从 −0 省下来的，理由见 四种编码的定义。
  • 问由指定个数的 1 和 0 组成的 n 位补码能表示的最小整数：分两步——要最负，符号位必须是 1（用掉一个 1）；剩下的 1 全部塞到最低位让低 n−1 位的无符号值尽可能小，再套 X=−2n−1+(低位值)。⚠️ 满足"几个 1"的位串不止一个，约束限定个数、最小化要求往低位摆，两件事要分开想。

易错：把扫描法用在反码上。它已经含了"取反"这一步。

易错：求相反数时只翻数值位。换数要连符号位一起翻，换编码才只动数值位。

易错：认为 −2n−1 也有相反数。对它求补会溢出。

易错：把补码范围写成左右对称。负数多一个。

教材出处
  • 模运算与补码定义、"取反加 1"的代数展开：袁春风《计算机组成与系统结构》第 3 版 §2.1.4 定点数的编码，印刷页 p29–p31
  • "机器数一定是一个 0/1 序列，通常缩写成十六进制形式"：同书 §2.1.4，印刷页 p28
  • 同一真值在不同位数下机器数不同，给定编码必须明确位数：同书 §2.1.4 例 2.12，印刷页 p30
  • 由 [Y]补 求 [−Y]补 需连同符号位取反末位加 1：唐朔飞《计算机组成原理》第 3 版 §6.1，印刷页 p226

相关知识 ​

真值与机器数：四种编码的定义｜进位计数制与转换｜补码加减运算与溢出判别

真题练习 ​

相关真题（20题）

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