浮点数表示（IEEE 754）

考情分析

IEEE 754 是数据表示章节的核心高频考点，几乎每年必考。常见题型：给定十六进制浮点数求真值、给定真值求 IEEE 754 编码、特殊值识别（$\pm 0$、$\pm \mathrm{\infty }$、NaN），以及规格化数与非规格化数的区分。

浮点数的一般格式

$$N=(-1{)}^S\times M\times 2^E$$

• $S$：符号位（0 正 1 负）
• $E$：阶码（指数），决定表示范围
• $M$：尾数（有效数字），决定表示精度

阶码位数越多，范围越大；尾数位数越多，精度越高。两者在总位数固定时此消彼长。

IEEE 754 标准格式

单精度 float（32 位）

字段	位数	位置
符号 $S$	1	[31]
阶码 $E$	8	[30:23]
尾数 $M$	23	[22:0]

偏置值 $\text{bias}=127$，真实指数 $e=E-127$。

双精度 double（64 位）

字段	位数	位置
符号 $S$	1	[63]
阶码 $E$	11	[62:52]
尾数 $M$	52	[51:0]

偏置值 $\text{bias}=1023$，真实指数 $e=E-1023$。

参数对比

参数	单精度	双精度
总位数	32	64
阶码位数	8	11
尾数位数	23	52
偏置值	$2^7-1=127$	$2^{10}-1=1023$
最大正规数	$\approx 3.4\times {10}^{38}$	$\approx 1.8\times {10}^{308}$
最小正规数	$\approx 1.18\times {10}^{-38}$	$\approx 2.23\times {10}^{-308}$
有效位数	24 位（含隐含 1）	53 位（含隐含 1）

规格化数

规格化数尾数形式为 $1.xxx\dots x$，最高有效位固定为 1，隐含不存储，省出 1 位精度。

$$\text{真值}=(-1{)}^S\times 1.M\times 2^{E-\text{bias}}$$

阶码范围：$1\le E\le 2^k-2$（$k$ 为阶码位数），即单精度 $1\le E\le 254$。

特殊值

阶码 $E$	尾数 $M$	含义	说明
全 0	$=0$	$\pm 0$	正零和负零，比较时视为相等
全 0	$\ne 0$	非规格化数	极小值，渐进下溢
全 1	$=0$	$\pm \mathrm{\infty }$	如 $1/0$ 的结果
全 1	$\ne 0$	NaN	如 $\sqrt{-1}$、$0/0$
其他	任意	规格化数	正常浮点数

非规格化数

当阶码全 0 且尾数不为 0 时：

$$\text{值}=(-1{)}^S\times 0.M\times 2^{1-\text{bias}}$$

• 没有隐含的 1，隐含前缀为 0
• 真实指数固定为 $1-\text{bias}$（单精度为 $-126$，不是 $-127$）
• 作用：填补 0 到最小规格化数之间的空隙

为什么用偏置码表示阶码

阶码使用移码（偏置码）而非补码，有两个好处：

1. 浮点数大小比较可以直接按无符号整数位模式比较
2. 全 0 阶码对应最小指数，方便特殊值编码

交互可视化

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例题

例 1：十六进制 0xC1480000 表示的单精度浮点数真值是多少？

转为二进制：1 10000010 10010000000000000000000

• $S=1$（负数）
• $E={10000010}_2=130$，$e=130-127=3$
• 尾数 $={1.1001}_2$（隐含 1 + 存储的 1001...）

$$\text{真值}=-1.1001\times 2^3=-{1100.1}_2=-12.5$$

例 2：将 $+0.375$ 转换为 IEEE 754 单精度编码

$0.375={0.011}_2=1.1\times 2^{-2}$

• $S=0$
• $e=-2$，$E=-2+127=125={01111101}_2$
• 尾数存储部分：$1000\dots 0$（23 位）

编码：0 01111101 10000000000000000000000 = 0x3EC00000

例 3：单精度浮点数能精确表示的最大整数是多少？

尾数含隐含位共 24 位，因此能精确表示 $[-2^{24},2^{24}]$ 内的所有整数。

$$2^{24}=\mathrm{16,777,216}$$

超过此值的奇数就无法精确表示了（如 $2^{24}+1$）。

考点清单

• [ ] 单精度 1+8+23，偏置 127；双精度 1+11+52，偏置 1023
• [ ] 规格化数：隐含前缀 1，真值 $=(-1{)}^S\times 1.M\times 2^{E-\text{bias}}$
• [ ] 非规格化数：隐含前缀 0，指数固定 $1-\text{bias}$
• [ ] 特殊值编码：$\pm 0$、$\pm \mathrm{\infty }$、NaN 的阶码和尾数特征
• [ ] 十六进制 $\leftrightarrow$ 浮点真值的转换方法
• [ ] 偏置码的优势：便于比较大小
• [ ] 有效位数：单精度 24 位，双精度 53 位

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