进位计数制与转换

2026 大纲 二（一）1　进位计数制及其数据之间的相互转换。

四种进制其实只有一个式子

二进制、八进制、十进制、十六进制看起来是四套东西，其实共用同一个定义：

$$V=\sum _{i=-m}^n{k}_i\times R^i,k_i\in \{0,1,\dots ,R-1\}$$

区别只在基数 $R$，以及由它决定的位权 $R^i$。所以"学会四种进制"这件事根本不存在——学会的是一个式子，把 $R$ 代四次而已。

顺着这个式子，两个方向的转换也就定了：$R$ 进制转十进制就是按权展开，它本身就是定义，没有任何技巧；反过来十进制转 $R$ 进制要分整数和小数两段，而这两段的规则方向正好相反：

🔴 整数除基取余，先出来的是最低位，写答案要逆序；小数乘基取整，先出来的是最高位，写答案是顺序。 一句话记：除法把低位挤出来，乘法把高位顶上去。

⚠️ 还有一条最基础的前提：同一串数码在不同进制下是不同的值——$(11{)}_2=3$、$(11{)}_8=9$、$(11{)}_{16}=17$。脱离进制标注谈"这个数是多少"没有意义，所以机器数书写必须带 H / B 后缀。

一、位置计数法与数码

一个进制由两件事定义：基数 $R$（每一位可用的数码个数）和位权 $R^i$（第 $i$ 位上的 1 代表多大）。十进制的 $2585.62$ 之所以是 $2\times {10}^3+5\times {10}^2+8\times {10}^1+5\times {10}^0+6\times {10}^{-1}+2\times {10}^{-2}$，唯一的原因就是 $R=10$；把 $R$ 换成 2、8、16，式子的形状一个字都不用改。

十进制	二进制	八进制	十六进制
0～7	0000～0111	0～7	0～7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	A
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F

十六进制超过 9 的六个数码借用字母 A～F 代表 10～15。书写时用后缀字母标明进制：B 二进制、O 八进制、D 十进制（可省）、H 十六进制，例如 10011B、308FH。

按权展开就是上面那个式子本身：

$$(1101.01{)}_2=1\times 2^3+1\times 2^2+0\times 2^1+1\times 2^0+0\times 2^{-1}+1\times 2^{-2}=13.25$$$$(2\text{AF}{)}_{16}=2\times {16}^2+10\times {16}^1+15\times {16}^0=512+160+15=687$$

计算机内部只有二进制，为什么人还要学十六进制

二进制位串太长，1110 0000 0000 0010 这样的东西人读一遍就会出错。十六进制的一位恰好对应二进制的四位，长度压到 $1/4$ 而不损失任何位信息，所以它只是二进制的一种书写简写，不是另一套编码。

八进制同理，一位对应三位二进制。之所以现在十六进制更常用，是因为主流字长（8/16/32/64 位）都是 4 的倍数，用四位一组正好分尽，用三位一组则会在最高位剩零头。

二、十进制 → R 进制：两条规则的方向是推出来的

整数部分除基取余、小数部分乘基取整，两条规则方向相反，这不是约定而是从展开式里推出来的（结论见速查）。

两条规则各自的代数推导，以及 43 与 0.625 的完整竖式（想弄清"为什么整数逆序、小数顺序"而不是死记时展开）

整数部分：除基取余，先得到的是低位。 设整数 $N=k_n{R}^n+\cdots +k_1{R}^1+k_0$，用 $R$ 去除它：

$$\frac{N}{R}=\underset{\text{商}}{\underbrace{k_n{R}^{n-1}+\cdots +k_1}}+\underset{\text{余}}{\underbrace{\frac{k_0}{R}}}$$

除了 $k_0$ 之外，每一项都含至少一个 $R$ 因子，整除后进入商；只有 $k_0$ 除不尽，落进余数。所以第一次除法的余数必然是最低位数码。 拿商继续除，第二次余数就是次低位，直到商为 0。因为余数是从低位往高位依次冒出来的，写答案时必须逆序。

$(43{)}_{10}\to$ 二进制：

43 ÷ 2 = 21 ... 余 1   ← 最低位 b0
21 ÷ 2 = 10 ... 余 1        b1
10 ÷ 2 =  5 ... 余 0        b2
 5 ÷ 2 =  2 ... 余 1        b3
 2 ÷ 2 =  1 ... 余 0        b4
 1 ÷ 2 =  0 ... 余 1   ← 最高位 b5

逆着读：$(101011{)}_2$。

小数部分：乘基取整，先得到的是高位。 设纯小数 $F=k_{-1}{R}^{-1}+k_{-2}{R}^{-2}+\cdots$，用 $R$ 去乘它：

$$F\times R=\underset{\text{整数部分}}{\underbrace{k_{-1}}}+\underset{\text{仍是纯小数}}{\underbrace{k_{-2}{R}^{-1}+k_{-3}{R}^{-2}+\cdots }}$$

乘 $R$ 使所有权上升一级，原来权为 $R^{-1}$ 的那一位刚好升到 $R^0$，溢出成整数部分。所以第一次乘法得到的整数是最高位小数位；整数位从高位往低位依次冒出来，写答案时顺序排列。

$(0.625{)}_{10}\to$ 二进制：

0.625 × 2 = 1.25  → 取整 1   ← 最高位 b-1
0.25  × 2 = 0.5   → 取整 0        b-2
0.5   × 2 = 1.0   → 取整 1        b-3，小数部分归零，结束

顺着读：$(0.101{)}_2$。

三、二进制 ↔ 八/十六进制：分组为什么是机械的

以八进制为例，把二进制展开式每三项括在一起：

$$\cdots +\underset{\text{值域 }0\sim 7}{\underbrace{(b_5\cdot 2^2+b_4\cdot 2^1+b_3)}}\times 2^3+\underset{\text{值域 }0\sim 7}{\underbrace{(b_2\cdot 2^2+b_1\cdot 2^1+b_0)}}\times 2^0$$

括号里的值恰好落在 $0\sim 7$，正是一个八进制数码；括号外的公因子 $2^3=8^1$、$2^0=8^0$，正是八进制的位权。所以三位二进制原封不动就是一位八进制，没有任何计算发生。十六进制同理，每四位对应 $0\sim 15$，公因子是 $2^4={16}^1$。

$$(011010101.1101{)}_2:\underset{3}{\underbrace{011}}\underset{2}{\underbrace{010}}\underset{5}{\underbrace{101}}.\underset{6}{\underbrace{110}}\underset{4}{\underbrace{100}}=(325.64{)}_8$$$$(10101111.01{)}_2:\underset{\text{A}}{\underbrace{1010}}\underset{\text{F}}{\underbrace{1111}}.\underset{4}{\underbrace{0100}}=(\text{AF.4}{)}_{16}$$

分组必须从小数点向两侧展开，因为公因子的指数是以小数点为原点数出来的。

🔴 补 0 要补在权更极端的那一端：整数端在左端（高位）补，小数端在右端（低位）补，补的都是空位、不改变数值。往错的一端补——比如把 .01 补成 .001——数值直接被除以 2。这是分组转换里唯一会算错数值的地方。

🔴 二 ↔ 十没有分组捷径，因为 10 不是 2 的幂，两边的权对不齐，任何一位十进制数码都无法只由固定几位二进制拼出来。所以十六 ↔ 二永远走分组、不经十进制中转——中转一次就多一次算错的机会，遇到写不完的小数还会引入截断。

顺带记一条位数关系：$n$ 位二进制（$n$ 为 4 的倍数）严格对应 $n/4$ 位十六进制，8 位写 2 个、16 位写 4 个、32 位写 8 个。这是严格的 $1/4$ 不是近似；$n$ 不是 4 的倍数时高位补 0 凑齐，位数变多、值没变。

另有一条手算捷径：二进制的权是 $1,2,4,8,\dots ,1024,\dots$，把十进制整数拆成若干权之和比反复做除法快——$8261=2^{13}+2^6+2^2+2^0$，于是第 13、6、2、0 位置 1。

同一个十六进制数走两条路：经十进制中转与直接分组，结果对得上（想验证「十六 ↔ 二不必经十进制中转」这条结论时展开）

把 $(\text{C5.A}{)}_{16}$ 转成二进制。第一条路，经十进制中转——先按权展开：

$$12\times {16}^1+5\times {16}^0+10\times {16}^{-1}=192+5+0.625=197.625$$

再把 $197$ 除基取余、$0.625$ 乘基取整，才得到二进制。第二条路，直接分组——十六进制一位直接摊成四位，不做任何计算：

$$\text{C}\to 1100,5\to 0101,\text{A}\to 1010$$$$(\text{C5.A}{)}_{16}=(11000101.1010{)}_2=(11000101.101{)}_2$$

小数末尾的 0 可省。验算：${0.101}_2=0.5+0.125=0.625$ ✓，与第一条路算出的小数部分一致。

两条路结果相同，但第一条路做了两次进制运算、第二条路一次都没做。中转一次就多一次算错的机会，遇到写不完的小数还会引入截断——这就是那条结论的全部依据。

四、哪些十进制小数写得完

有限位二进制小数的值形如 ${\displaystyle \frac{\mathrm{整}\mathrm{数}}{2^k}}$——分母只能是 2 的幂。所以判据是：一个十进制小数能用有限位二进制精确表示，当且仅当它化成最简分数后分母是 2 的幂。

十进制小数	最简分数	分母	有限位二进制
0.5	$1/2$	$2^1$	$0.1$
0.25	$1/4$	$2^2$	$0.01$
0.625	$5/8$	$2^3$	$0.101$
0.8125	$13/16$	$2^4$	$0.1101$
0.1	$1/10$	$2\cdot 5$	写不完
0.3	$3/10$	$2\cdot 5$	写不完

分母里只要含 2 以外的质因子，乘 2 取整就永远归不了零，转换过程进入循环，只能截断。这是浮点数精度误差的根源，也是 0.1 + 0.2 != 0.3 的来历——具体后果见 浮点数表示（IEEE 754）。

考点速记

1. 所有进制共用 $V=\sum k_i{R}^i$ 一个式子，区别只在基数与位权；$R$ 进制转十进制就是按权展开，即定义本身。
2. 十进制转 $R$ 进制的两条规则方向相反且都可推出：除法把低位挤出来（整数除基取余、逆序），乘法把高位顶上去（小数乘基取整、顺序）。
3. 二 ↔ 八/十六能机械分组是因为 $8=2^3$、$16=2^4$，分组以小数点为原点向两侧补 0；二 ↔ 十没有这个待遇。有限位二进制能表示的十进制小数，当且仅当最简分数的分母是 2 的幂。

这一节在真题里的位置：

进制转换在 408 真题里不单独成题。下方「真题练习」挂的是 fixed-point-encoding 这个 topic， 它汇集了整个定点数编码部分的题——其中没有一道是只考进制转换的，它们分别属于 机器数与真值、编码与转换、 移位运算 与 C 语言类型转换。

进制转换真正出现的方式是作为别的题的某一步：机器数用十六进制给出时要摊成二进制才能切字段（Cache 地址划分、指令格式），算出来的位串又要转回十六进制填答案（求机器数、算物理地址）。

所以本篇的复习优先级是：手上要快，不必单独刷题。真正值得练到不假思索的是三件事——十六进制与二进制的四位一组互转、按权展开求值、以及小数部分乘基取整的方向。剩下的（八进制、十进制转二进制的除基取余）在 408 里出现频次很低，会做即可。

易错：分组补 0 补错了一端。整数补高位、小数补低位，补的必须是权更极端的空位。

易错：小数乘基取整之后把顺序写反。整数部分才要逆序，小数部分是顺序。

易错：十六进制转二进制时绕道十进制。直接分组，一次计算都不用做。

教材出处

• 位置计数法的一般式、按权展开、"除基取余/乘基取整"及其例题：袁春风《计算机组成与系统结构》第 3 版 §2.1.2 进位记数制，印刷页 p24–p26
• 利用二进制权凑数的快速转换法（例 2.8）：同书 §2.1.2，印刷页 p27

相关知识

真值与机器数：四种编码的定义｜定点数编码的转换与书写｜浮点数表示（IEEE 754）

真题练习

相关真题（20题）

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