进位计数制与转换

考情分析

进制转换是数据表示章节的基础，选择题常考十进制与二进制/十六进制的互转，以及快速识别十六进制表示的能力。单独出大题少，更多作为其他题目（补码、浮点数）的铺垫。

进位计数制基础

基本概念

一个 R 进制数可以表示为按权展开的多项式：

N = \sum_{i = - (小 数 位 数)}^{整 数 位 数 - 1} k_{i} \times R^{i}

其中 $k_{i}$ 是第 $i$ 位的数码，取值范围 $0 \sim R - 1$ 。

常用进制对照

十进制	二进制	八进制	十六进制
0	0000	0	0
1	0001	1	1
2	0010	2	2
3	0011	3	3
4	0100	4	4
5	0101	5	5
6	0110	6	6
7	0111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	A
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F

转换方法

R 进制 → 十进制：按权展开

将每一位数码乘以对应权值后求和。

例： $(1101.01)_{2}$ 转十进制

1 \times 2^{3} + 1 \times 2^{2} + 0 \times 2^{1} + 1 \times 2^{0} + 0 \times 2^{- 1} + 1 \times 2^{- 2}

= 8 + 4 + 0 + 1 + 0 + 0.25 = 13.25

例： $(2 A F)_{16}$ 转十进制

2 \times 16^{2} + 10 \times 16^{1} + 15 \times 16^{0} = 512 + 160 + 15 = 687

十进制 → R 进制

整数部分：除基取余，逆序排列

反复除以 R，每次取余数，直到商为 0，然后从下往上读余数。

例： $(43)_{10}$ 转二进制

43 ÷ 2 = 21 ... 余 1  ↑
21 ÷ 2 = 10 ... 余 1  ↑
10 ÷ 2 = 5  ... 余 0  ↑
 5 ÷ 2 = 2  ... 余 1  ↑
 2 ÷ 2 = 1  ... 余 0  ↑
 1 ÷ 2 = 0  ... 余 1  ↑

结果： $(101011)_{2}$

小数部分：乘基取整，顺序排列

反复乘以 R，每次取整数部分，直到小数部分为 0 或达到所需精度，从上往下读整数位。

例： $(0.625)_{10}$ 转二进制

0.625 × 2 = 1.25  → 取 1  ↓
0.25  × 2 = 0.5   → 取 0  ↓
0.5   × 2 = 1.0   → 取 1  ↓

结果： $(0.101)_{2}$

注意

十进制小数不一定能精确转换为二进制小数。例如 0.1 在二进制下是无限循环小数，这是浮点数精度误差的根本原因。

二进制 ↔ 八进制：三位一组

二进制转八进制：从小数点向两侧，每 3 位一组，不足补 0。

\underset{3}{\underset{⏟}{011}} \underset{2}{\underset{⏟}{010}} \underset{5}{\underset{⏟}{101}} . \underset{6}{\underset{⏟}{110}} \underset{4}{\underset{⏟}{100}}

$(011010101.1101)_{2} = (325.64)_{8}$ （最后一组 $100$ 对应 $4$ ）

二进制 ↔ 十六进制：四位一组

从小数点向两侧，每 4 位一组，不足补 0。

\underset{A}{\underset{⏟}{1010}} \underset{F}{\underset{⏟}{1111}} . \underset{4}{\underset{⏟}{0100}}

$(10101111.01)_{2} = (A F .4)_{16}$

典型例题

例题 1（2019 年 408）： $(0.8125)_{10}$ 转换为二进制小数。

0.8125 × 2 = 1.625  → 1
0.625  × 2 = 1.25   → 1
0.25   × 2 = 0.5    → 0
0.5    × 2 = 1.0    → 1

结果 $(0.1101)_{2}$ 。

例题 2：将十六进制数 $(C 5. A)_{16}$ 转换为十进制。

12 \times 16^{1} + 5 \times 16^{0} + 10 \times 16^{- 1} = 192 + 5 + 0.625 = 197.625

例题 3：将二进制 $(11111111)_{2}$ 快速转为十六进制。

四位一组： $1111 1111 \to F F$ ，即 $(F F)_{16}$ ，等于十进制 255。

考点清单

[ ] 任意 R 进制数按权展开转十进制
[ ] 十进制整数转二进制（除 2 取余法）
[ ] 十进制小数转二进制（乘 2 取整法），注意不一定能精确表示
[ ] 二进制与八进制互转（3 位一组）
[ ] 二进制与十六进制互转（4 位一组）
[ ] 十六进制与十进制互转

进位计数制与转换 ​

考情分析 ​

进位计数制基础 ​

基本概念 ​

常用进制对照 ​

转换方法 ​

R 进制 → 十进制：按权展开 ​

十进制 → R 进制 ​

二进制 ↔ 八进制：三位一组 ​

二进制 ↔ 十六进制：四位一组 ​

典型例题 ​

考点清单 ​

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