原码、反码、补码、移码

考情分析

编码转换在 408 真题中几乎每年必考，以选择题和填空题为主，考频极高。常见考查形式：给定真值求补码、由补码还原真值、补码表示范围计算、移码与补码的关系。

四种编码方式

原码

符号位 + 数值位（绝对值的二进制）。

• 正数：符号位为 0，数值位写绝对值
• 负数：符号位为 1，数值位写绝对值

原码有两个零：$+0$ 的原码是 $00\dots 0$，$-0$ 的原码是 $10\dots 0$。

$$[+5{]}_{\text{原}}=00000101,[-5{]}_{\text{原}}=10000101$$

反码

• 正数：与原码相同
• 负数：符号位不变，数值位各位取反

反码也有两个零：$[+0{]}_{\text{反}}=00\dots 0$，$[-0{]}_{\text{反}}=11\dots 1$。

$$[-5{]}_{\text{反}}=11111010$$

补码

• 正数：与原码相同
• 负数：反码 + 1（等价于：符号位不变，从最低位向左找到第一个 1，该位及其右侧不变，左侧数值位取反）

补码只有一个零：$[0{]}_{\text{补}}=00\dots 0$，因此 $n$ 位补码能多表示一个 $-2^{n-1}$。

$$[-5{]}_{\text{补}}=11111011$$

移码

移码 = 补码的符号位取反，专用于表示浮点数的阶码。

$$[+5{]}_{\text{移}}=10000101,[-5{]}_{\text{移}}=01111011$$

移码的特点：移码 0 的表示唯一，真值越大移码对应的无符号整数越大，便于比较大小。

编码对照表（4 位，含符号位）

真值	原码	反码	补码	移码
+7	0111	0111	0111	1111
+6	0110	0110	0110	1110
+5	0101	0101	0101	1101
+4	0100	0100	0100	1100
+3	0011	0011	0011	1011
+2	0010	0010	0010	1010
+1	0001	0001	0001	1001
+0	0000	0000	0000	1000
-0	1000	1111	—	—
-1	1001	1110	1111	0111
-2	1010	1101	1110	0110
-3	1011	1100	1101	0101
-4	1100	1011	1100	0100
-5	1101	1010	1011	0011
-6	1110	1001	1010	0010
-7	1111	1000	1001	0001
-8	—	—	1000	0000

数值范围

设机器字长为 $n$ 位（含 1 位符号位）：

编码	最小值	最大值
原码	$-(2^{n-1}-1)$	$+(2^{n-1}-1)$
反码	$-(2^{n-1}-1)$	$+(2^{n-1}-1)$
补码	$-2^{n-1}$	$+(2^{n-1}-1)$
移码	$-2^{n-1}$	$+(2^{n-1}-1)$

补码比原码/反码多表示一个 $-2^{n-1}$，这是考研高频出题点。

转换流程

交互可视化

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例题

例1：将 -5 转为 8 位补码

真值 $X=-5$，$|5|={00000101}_2$

1. 原码：$10000101$
2. 反码：$11111010$（数值位取反）
3. 补码：$11111011$（反码 + 1）

$$[-5{]}_{\text{补}}=11111011$$

例2：由补码还原真值

已知 8 位补码 $10110100$，求真值。

符号位为 1，是负数。对补码（除符号位外）取反加 1：

$$1\underset{\text{符号位不变}}{|}0110100\stackrel{\text{数值位各位取反}}{\to }1|1001011\stackrel{+1}{\to }1|1001100$$

数值位 ${1001100}_2=76$，所以真值为 $-76$。

验证：$[-76{]}_{\text{补}}=10110100$，正确。

例3：8 位补码的表示范围

$n=8$，补码范围为 $[-2^7,2^7-1]=[-128,+127]$。

原码/反码范围为 $[-(2^7-1),2^7-1]=[-127,+127]$，少了 $-128$。

快速转换技巧

补码 → 原码（快速法）：从最低位向左扫描，找到第一个 1，该位及其右侧保持不变，左侧所有数值位取反。

例：补码 $11001100$

• 从右向左：$\dots 00$ 之后第一个 1 在第 3 位（从右数，1起始）
• 第 3 位及右侧 100 不变，左侧数值位 10011 → 取反 → 01100
• 原码：10110100，即 $-76$

这个方法与"取反加 1"等价，但手算更快。

移码判断大小：两个浮点数阶码用移码表示，直接按无符号数比较移码大小即可，无需转换真值。

考点清单

• 正数的原码、反码、补码三者相同
• 原码和反码各有两个零（$+0$ 和 $-0$），补码只有一个零
• $n$ 位补码能表示 $-2^{n-1}$，而原码和反码不能
• 补码的最小值 $10\dots 0$ 对应 $-2^{n-1}$，没有对应的原码/反码
• 移码 = 补码符号位取反，专用于阶码，方便大小比较
• 真值为 $-2^{n-1}$ 时，移码为 $00\dots 0$（全零），这也是为什么浮点数规格化要求阶码不能全零
• 补码求反（变号）：各位取反后 +1（包括符号位），特例：$-2^{n-1}$ 无对应正数
• 由补码到真值：正数直接读，负数再取一次补码即得原码

真题练习

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