真值与机器数

考情分析

原码/反码/补码/移码是整个数据表示章节的基础。选择题几乎每年必考：给定机器码求真值，或给定真值求各种机器码，尤其是边界值（最大/最小值）和 0 的特殊表示。

真值与机器数

真值：带正负号的实际数值，如 $+ 1011$ 、 $- 0.1101$ 。

机器数：在计算机中用 0/1 编码表示的数，符号位也被编码进去。

机器数的四种表示方式：原码、反码、补码、移码。

原码

符号位：正数为 0，负数为 1；数值位保持真值的绝对值不变。

[X]_{原} = {\begin{cases} X & 0 \leq X < 2^{n} \\ 2^{n} + | X | & - 2^{n} < X \leq 0 \end{cases}

其中 $n$ 为数值位位数（不含符号位）。 $2^{n} + | X |$ 的含义是符号位置 1，数值位保持绝对值不变。

例（8 位）：

真值	原码
$+ 0$	`00000000`
$- 0$	`10000000`
$+ 127$	`01111111`
$- 127$	`11111111`
$- 1$	`10000001`

原码的 0 有两种表示（ $+ 0$ 和 $- 0$ ），这是个麻烦。

表示范围（ $n$ 位原码，含 1 位符号位）： $- (2^{n - 1} - 1) \sim + (2^{n - 1} - 1)$

反码

正数的反码与原码相同；负数的反码是原码数值位按位取反。

例（8 位）：

真值	原码	反码
$+ 0$	`00000000`	`00000000`
$- 0$	`10000000`	`11111111`
$+ 127$	`01111111`	`01111111`
$- 127$	`11111111`	`10000000`
$- 1$	`10000001`	`11111110`

反码的 0 同样有两种表示。反码现在很少单独使用，主要作为求补码的中间步骤。

补码

正数的补码与原码相同；负数的补码是反码加 1（等价于：原码数值位取反后末位加 1）。

[X]_{补} = {\begin{cases} X & 0 \leq X < 2^{n} \\ 2^{n + 1} + X & - 2^{n} \leq X < 0 \end{cases}

例（8 位）：

真值	原码	补码
$+ 0$	`00000000`	`00000000`
$- 0$	`10000000`	`00000000`
$+ 127$	`01111111`	`01111111`
$- 128$	无法表示	`10000000`
$- 1$	`10000001`	`11111111`
$- 127$	`11111111`	`10000001`

补码中 0 的表示唯一，且比原码多表示一个最小负数 $- 2^{n - 1}$ 。

表示范围（ $n$ 位补码）： $- 2^{n - 1} \sim + (2^{n - 1} - 1)$

补码 → 真值（求原码）

符号位为 0：真值 = 补码本身
符号位为 1：数值位取反加 1，得到原码数值位，符号为负

例：补码 10110101

数值位 0110101 取反 → 1001010，加 1 → 1001011

真值 = $- 1001011_{2} = - 75$

快速记忆

$- 1$ 的补码：全 1（11111111）
$- 128$ 的补码（8位）：10000000
$- 2^{n - 1}$ 是补码能表示的最小负数，无对应原码

移码

移码主要用于表示浮点数的阶码（指数部分）。

[X]_{移} = 2^{n} + X (- 2^{n} \leq X < 2^{n})

即在真值的基础上加上偏置量 $2^{n}$ （ $n$ 为数值位位数）。移码与补码的关系：移码 = 补码的符号位取反。

例（8位移码，偏置量 $2^{7} = 128$ ）：

真值	补码	移码
$+ 0$	`00000000`	`10000000`
$- 0$	`00000000`	`10000000`
$+ 127$	`01111111`	`11111111`
$- 128$	`10000000`	`00000000`
$- 1$	`11111111`	`01111111`

移码中真值 0 的表示唯一，且便于比较大小（移码的数值大小与真值大小顺序一致）。

移码与 IEEE 754

IEEE 754 浮点数的阶码使用的是偏置码，偏置量不是 $2^{n - 1}$ 而是 $2^{n - 1} - 1$ （单精度 127，双精度 1023），与纯移码稍有区别。

四种编码对比

编码	正数	负数	0 的唯一性	表示范围（n 位）
原码	符号位 0 + 绝对值	符号位 1 + 绝对值	否（+0/-0）	$[- (2^{n - 1} - 1), 2^{n - 1} - 1]$
反码	同原码	数值位取反	否	$[- (2^{n - 1} - 1), 2^{n - 1} - 1]$
补码	同原码	反码+1	是	$[- 2^{n - 1}, 2^{n - 1} - 1]$
移码	补码符号位取反	—	是	$[- 2^{n - 1}, 2^{n - 1} - 1]$

典型例题

例题 1：设机器字长 8 位（含 1 位符号位），写出真值 $- 45$ 的原码、反码、补码。

$45 = 32 + 8 + 4 + 1 = (101101)_{2}$ ，8 位表示为 00101101

原码：10101101
反码：11010010（数值位取反）
补码：11010011（反码加 1）

例题 2：已知某补码为 11001100，求其真值。

符号位为 1，数值位取反加 1：0110011 + 1 = 0110100 = 52

真值 = $- 52$

例题 3：8 位补码所能表示的最小负数是多少？

$- 2^{7} = - 128$ ，对应补码 10000000。

考点清单

[ ] 原码、反码、补码、移码的定义和转换规则
[ ] 正负零的各种编码表示，补码中 0 唯一
[ ] 补码比原码多表示一个最小负数 $- 2^{n - 1}$
[ ] $n$ 位补码的表示范围： $[- 2^{n - 1}, 2^{n - 1} - 1]$
[ ] 已知补码求真值的方法（数值位取反加 1）
[ ] 移码 = 补码符号位取反，主要用于阶码

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