补码加减运算与溢出检测

大纲定位

二（二）2　加/减运算：补码加/减运算器，标志位的生成
要求：会做补码加减、会判溢出（三种方法任一）、会写出 OF/SF/ZF/CF 四个标志的生成式。大纲把"标志位的生成"单列出来，说明它不是附带知识——条件转移指令的判断条件全建立在这四个标志上。
加法器本身的电路结构见 ALU 与加法器。

考情分析

补码加减运算与溢出判断在选择题和大题里都出现过。三种溢出判断方法（单符号位法、双符号位法/变形补码、进位法）都要掌握。

补码加减法规则

补码加法

[A + B]_{补} = [A]_{补} + [B]_{补} (\mod 2^{n})

即两数补码直接相加，符号位参与运算，最高位（符号位）的进位丢弃。

补码减法

[A - B]_{补} = [A]_{补} + [- B]_{补}

减法转化为加法，关键是求 $[- B]_{补}$ ：将 $[B]_{补}$ 连同符号位一起取反加 1（即求补操作）。

求补操作的快速方法：从最低位开始，找到第一个 1，保持该位及其右侧所有位不变，左侧所有位（包括符号位）取反。

例： $[B]_{补} = 10110100$ ，求 $[- B]_{补}$

最低位的 1 在第 3 位（从右数），保留右侧 100，左侧 10110 → 01001

$[- B]_{补} = 01001100$

溢出的本质

溢出指运算结果超出了机器数所能表示的范围。

对于 $n$ 位有符号补码：

正溢出（上溢）：结果 $> 2^{n - 1} - 1$ ，两个正数相加但结果变成负数
负溢出（下溢）：结果 $< - 2^{n - 1}$ ，两个负数相加但结果变成正数

TIP

同符号数相加才可能溢出，异符号数相加不会溢出。

三种溢出判断方法

方法一：单符号位法

观察操作数符号位和结果符号位：

V = A_{符} \cdot B_{符} \cdot \overset{―}{S_{符}} + \overset{―}{A_{符}} \cdot \overset{―}{B_{符}} \cdot S_{符}

用语言描述：

两个正数相加，结果为负 → 正溢出
两个负数相加，结果为正 → 负溢出
其他情况不溢出

$A$ 符号位	$B$ 符号位	$S$ 符号位	溢出判断
0	0	0	无溢出
0	0	1	正溢出
0	1	0	无溢出
0	1	1	无溢出
1	0	0	无溢出
1	0	1	无溢出
1	1	0	负溢出
1	1	1	无溢出

方法二：双符号位法（变形补码/模 4 补码）

将每个操作数扩展为双符号位：

正数：补两个 0，如 $+ X$ → $00 X$
负数：补两个 1，如 $- X$ → $11 X$

运算后观察结果的两位符号位：

双符号位结果	含义
`00`	结果为正，无溢出
`11`	结果为负，无溢出
`01`	正溢出（结果应为正但超出范围）
`10`	负溢出（结果应为负但超出范围）

口诀：双符号位相同 → 无溢出；不同 → 溢出（高位符号位是正确符号）。

方法三：进位法

设机器字长 $n$ 位，加法器的进位从低到高依次记为 $C_{1}, C_{2}, \dots, C_{n}$ （ $C_{0}$ 是最低位的进位输入）。溢出只看最高两级进位：

$C_{n}$ ：符号位产生的进位（进位输出）
$C_{n - 1}$ ：最高数值位向符号位的进位

OF = C_{n - 1} \oplus C_{n}

$C_{n - 1} \neq C_{n}$ → 溢出
$C_{n - 1} = C_{n}$ → 无溢出

下标别记反

本站 ALU 与运算部件一篇用的是同一套约定： $C_{0}$ 是进位输入，不是进位输出。有些资料把符号位的进位记作 $C_{0}$ 、数值位的记作 $C_{1}$ ，公式写成 $V = C_{0} \oplus C_{1}$ ——含义相同但下标相反，混用会把判断做反。做题时以题面给的图和标注为准。

标志位的生成

大纲二（二）2 的原文是「补码加/减运算器，标志位的生成」——运算器和标志位是同一条要求的两半。综合应用题里这部分是按逻辑表达式给分的，光会中文描述不够。

补码加减运算器长什么样

一个 $n$ 位加法器就能同时做加和减，靠的是两件事：把 $Y$ 送进一排反相器再经二选一多路器（ $S u b = 1$ 时选反相后的 $\overset{―}{Y}$ ），同时把控制信号 $S u b$ 接到最低位的进位输入 $C_{0}$ 。于是

S u b = 0 : X + Y S u b = 1 : X + \overset{―}{Y} + 1 = X - Y

这正是「减法转加法」在电路上的落地——不需要单独的减法器。

四个标志的表达式

设 $n$ 位运算结果为 $F$ ， $C_{n}$ 是符号位产生的进位（即进位输出 $C_{o u t}$ ）， $C_{n - 1}$ 是最高数值位向符号位的进位：

标志	表达式	对谁有意义
ZF（零标志）	$Z F = 1 ⟺ F = 0$	两者都有
SF（符号标志）	$S F = F_{n - 1}$ （结果最高位）	只对带符号数
OF（溢出标志）	$O F = C_{n} \oplus C_{n - 1}$	只对带符号数
CF（进位/借位标志）	$C F = S u b \oplus C_{o u t}$	只对无符号数

CF 这一条最容易写错

减法在硬件上是 $X + \overset{―}{Y} + 1$ ，最高位常常会产生进位。若直接令 $C F = C_{o u t}$ 就错了——减法的 CF 语义是「借位」，够减时不该置位。

加法 （ S u b = 0 ） : C F = C_{o u t} 减法 （ S u b = 1 ） : C F = \overset{―}{C_{o u t}}

合起来就是 $C F = S u b \oplus C_{o u t}$ 。验算一下 8 位无符号减法：

运算	结果	$C_{o u t}$	CF	含义
`50H − 30H`	`20H`	1	0	够减，无借位
`30H − 50H`	`E0H`	0	1	不够减，有借位

OF 还有一个等价的符号位形式

除了 $C_{n} \oplus C_{n - 1}$ ，标答也常用只含符号位的形式（ $A$ 、 $B$ 为两个操作数）：

O F_{加} = A_{n - 1} B_{n - 1} \overset{―}{F_{n - 1}} + \overset{―}{A_{n - 1}} \overset{―}{B_{n - 1}} F_{n - 1}

读作「两个加数同号，但结果与它们异号」。两式在 8 位下穷举 65536 种组合完全等价。

减法版必须单独推，不能照抄加法版。 $A - B$ 相当于 $A + (- B)$ ，把 $B$ 翻号后代入：

O F_{减} = A_{n - 1} \overset{―}{B_{n - 1}} \overset{―}{F_{n - 1}} + \overset{―}{A_{n - 1}} B_{n - 1} F_{n - 1}

读作「 $A$ 、 $B$ 异号，且结果与 $A$ 异号」。把减法的 OF 写成与加法同形式（同号项）是明确要扣分的。

标志位往哪去

四个标志存进标志寄存器 FR，它的输出连到控制器 CU 的输入端——条件转移指令就是靠读这些位决定跳不跳。例如无符号数的「大于」判断用的是 $\overset{―}{C F + Z F}$ （既没借位、又不相等）。

一句话记法

CF 管无符号，OF 管带符号，同一次运算完全可能 $C F = 1$ 而 $O F = 0$ （或反过来）——它们判的根本不是同一件事。

交互可视化

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典型例题

例题 1：8 位补码，计算 $[A]_{补} = 01100100$ ， $[B]_{补} = 00111000$ ，求 $[A + B]_{补}$ 并判断是否溢出。

  01100100  (+100)
+ 00111000  (+56)
----------
  10011100

结果符号位为 1，但两个正数相加结果为负 → 正溢出。

双符号位验证（8位字长扩展为9位：2位符号 + 7位数值）：

  001100100
+ 000111000
----------
  010011100

双符号位为 01 → 确认正溢出。

例题 2：8 位补码，计算 $[A]_{补} = 10110101$ ， $[B]_{补} = 11001011$ ，求 $[A + B]_{补}$ 。

真值： $A = - 75$ ， $B = - 53$ ， $A + B = - 128$ ，在 8 位补码范围 $[- 128, 127]$ 内。

  10110101  (-75)
+ 11001011  (-53)
----------
1 10000000  进位丢弃

结果为 10000000 = $- 128$ ，无溢出。

进位法： $C_{0} = 1$ （符号位进位）， $C_{1} = 1$ （最高数值位进符号位）， $V = 1 \oplus 1 = 0$ ，无溢出。

例题 3：用双符号位法计算 $A = - 70$ ， $B = - 80$ 的补码加法。

$- 70$ 的补码（8位）：10111010，双符号位扩展为9位：110111010 $- 80$ 的补码（8位）：10110000，双符号位扩展为9位：110110000

  110111010
+ 110110000
----------
1 101101010  最高进位丢弃

双符号位为 10 → 负溢出（ $- 150 < - 128$ ）。

考点清单

[ ] $[A + B]_{补} = [A]_{补} + [B]_{补}$ ，符号位参与运算
[ ] 补码减法： $[A - B]_{补} = [A]_{补} + [- B]_{补}$ ，对 $[B]_{补}$ 连符号位一起求补
[ ] 同符号数相加才可能溢出，异符号不溢出
[ ] 单符号位法：看操作数符号与结果符号
[ ] 双符号位法：00/11 无溢出，01 正溢出，10 负溢出
[ ] 进位法： $V = C_{0} \oplus C_{1}$
[ ] 快速求补：找最低位 1，左侧全部取反（含符号位）

真题练习

2025Q142分 2023Q162分 2020Q4313分 2019Q4516分 2018Q192分 2014Q132分 2013Q142分 2011Q172分 2011Q4311分 2010Q132分

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大纲定位

考情分析

补码加减法规则

补码加法

补码减法

溢出的本质

三种溢出判断方法

方法一：单符号位法

方法二：双符号位法（变形补码/模 4 补码）

方法三：进位法

标志位的生成

补码加减运算器长什么样

四个标志的表达式

CF 这一条最容易写错

OF 还有一个等价的符号位形式

标志位往哪去

交互可视化

典型例题

考点清单

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