定点数编码的转换与书写

大纲定位

二（一）2　定点数的编码表示 · 二（三）整数的表示和运算
四种编码的定义、范围、零的表示在真值与机器数：四种编码的定义。本篇只管动手：怎么转、怎么在卷面上写、同一串位怎么读出两个不同的数。

考情分析

408 的题型只有单项选择题和综合应用题两类。本考点是纯操作题，答对与否只取决于转换步骤有没有走错。
注意卷面形态：标答普遍用十六进制机器数书写（如 86H、FBH、E002H），而不是一长串二进制。只会写二进制、不会转十六进制，会在综合题上吃亏。

一、三向互转

要在三种形态之间自由切换：

真值 (- 5) ⟺ 二进制机器数 (11111011) ⟺ 十六进制机器数 (FBH)

真值 → 机器数

以 $- 5$ 、8 位补码为例：

取绝对值转二进制： $| - 5 | = 5 = (101)_{2}$ ，补足 7 位数值位 → 0000101
写原码：符号位 1 → 10000101
数值位取反 → 11111010（这是反码）
末位加 1 → 11111011（补码）
四位一组转十六进制：1111 1011 → FBH

机器数 → 真值

符号位是 0 就直接读；是 1 则再求一次补（取反加 1）得到绝对值。

以 11001100 为例：符号位 1，是负数。数值位 1001100 取反得 0110011，加 1 得 0110100 $= 52$ 。所以真值 $= - 52$ 。十六进制写作 CCH。

十六进制 ↔ 二进制

四位一组，机械对应，不用算：

Hex	Bin	Hex	Bin	Hex	Bin	Hex	Bin
0	0000	4	0100	8	1000	C	1100
1	0001	5	0101	9	1001	D	1101
2	0010	6	0110	A	1010	E	1110
3	0011	7	0111	B	1011	F	1111

16 位数就是四个十六进制位，例如 short 型 $- 8190$ ：$2^{16} - 8190 = 57346 = $ 1110 0000 0000 0010 → E002H。

几个背下来省时间的

真值（8 位）	补码	十六进制
$- 1$	`11111111`	FFH
$- 128$	`10000000`	80H
$+ 127$	`01111111`	7FH

推广：任意位数下 $- 1$ 的补码都是全 F（FFH / FFFFH / FFFFFFFFH），最小负数都是 8 后面跟全 0（80H / 8000H / 80000000H）。

二、快速转换法

标准做法是"取反加 1"，但有个更快的扫描法：

从最低位向左扫描，找到第一个 1；该位及其右侧全部保持不变，左侧的数值位逐位取反。

用它把补码 11001100 转回原码：

1 | \underset{取反}{\underset{⏟}{100}} \underset{第一个 1}{\underset{⏟}{1}} \underset{不变}{\underset{⏟}{100}} ⟶ 1 | 0110100

数值位 $0110100 = 52$ ，真值 $- 52$ 。与上面取反加 1 的结果一致。

这条规则的输入是什么，必须看清

扫描法在原码 ↔ 补码之间双向可用（两个方向规则相同），但它不能用在反码上。

标准链条是「原码 —数值位取反→ 反码 —加 1→ 补码」，扫描法是把后两步合并了。如果你已经算出了反码，那就只差加 1，别再去扫描。

三、求相反数（变号）

已知 $[X]_{补}$ 求 $[- X]_{补}$ ：连同符号位在内，全部位取反，末位加 1。

注意是"连符号位一起"，这跟"由补码求原码"只动数值位不同。

$[X]_{补}$	全位取反加 1	$[- X]_{补}$	真值对照
`01001100`（ $+ 76$ ）	→	`10110100`	$- 76$
`11001100`（ $- 52$ ）	→	`00110100`	$+ 52$
`10000000`（ $- 128$ ）	→	`10000000`	仍是 $- 128$

最后一行不是笔误

$- 128$ 求相反数得到的还是它自己——因为 $+ 128$ 根本无法用 8 位补码表示（范围上界是 $+ 127$ ）。这一步在硬件上会置溢出标志。

推广：任意位数下，最小负数 $- 2^{n - 1}$ 没有相反数。求补运算遇到它必然溢出。

四、同一串位，两种读法

这是本篇最重要的一条，也是真题切入这个知识点时最常用的角度。

位模式不变，解释方式变。 一串 8 位 10000110：

怎么读	值	算法
按无符号数	$134$	$128 + 4 + 2 = 134$ ，最高位就是数值位
按补码	$- 122$	最高位是符号位， $134 - 256 = - 122$

两个值相差正好 $2^{8} = 256$ 。这不是巧合——对于最高位为 1 的位串，

补码值 = 无符号值 - 2^{n}

卷面上怎么答

题目问"这个寄存器里装的是多少"，先看它要求按什么类型解释。同一条 MOV 指令搬进来的位串，声明成 int 和 unsigned int 读出来是两个数，而寄存器里的电平一模一样。

比较大小时更要命：FFFDH 按 16 位补码是 $- 3$ 、按无符号是 $65533$ ，两种解释下的大小关系完全相反。

转换流程速查

交互可视化

加载可视化中...

例题

例 1：某 8 位寄存器的内容为 86H。分别按无符号整数和补码整数解释，它的值各是多少？

86H = 1000 0110。

无符号： $134$
补码：最高位为 1， $134 - 256 = - 122$

例 2：设 short 型变量 $x = - 8190$ ，写出 $x$ 的机器数（十六进制）。

short 为 16 位。 $2^{16} - 8190 = 57346$ ，转二进制 1110 0000 0000 0010，即 E002H。

也可以走快捷路径： $8190 = (0001 1111 1111 1110)_{2}$ ，全位取反得 1110 0000 0000 0001，加 1 得 1110 0000 0000 0010 ✓

例 3：已知 $[X]_补 = $ 10110100，求 $[- X]_{补}$ 和 $X$ 的真值。

求 $[- X]_{补}$ ：全位取反加 1 → 01001100 = $+ 76$
所以 $X = - 76$

反过来验证：$2^8 - 76 = 180 = $ 10110100 ✓

常见丢分点

求补时漏掉"+1"——只做了取反就当补码。这是本考点第一大错因
由补码求原码时动了符号位（符号位应保持为 1）
把补码位串当无符号数直接读，忘了最高位是符号位
求 $[- X]_{补}$ 时只取反数值位（应当连符号位一起）
只写二进制不写十六进制，或四位一组时分组分错方向（应从最低位向高位每 4 位一组，高位不足补 0）
忘了交代位数，导致边界值答案不唯一

考点清单

[ ] 真值 ↔ 二进制机器数 ↔ 十六进制机器数的三向互转
[ ] 取反加 1 的标准流程，以及扫描法这一快捷方式（输入是原码或补码，不是反码）
[ ] 求 $[- X]_{补}$ ：连符号位一起取反加 1
[ ] 最小负数 $- 2^{n - 1}$ 无相反数，求补必溢出
[ ] 同一位串按无符号与按补码读，最高位为 1 时相差 $2^{n}$
[ ] 常用速记： $- 1$ 全 F、最小负数 8 后跟全 0
[ ] 卷面用十六进制书写机器数

真题练习

教材出处

模运算与补码定义、"取反加 1"的代数展开：袁春风《计算机组成与系统结构》第 3 版 §2.1.4 定点数的编码，印刷页 p29–p31
由 $[Y]_{补}$ 求 $[- Y]_{补}$ 需连同符号位取反末位加 1：唐朔飞《计算机组成原理》第 3 版 §6.1，印刷页 p226

定点数编码的转换与书写

大纲定位

考情分析

一、三向互转

真值 → 机器数

机器数 → 真值

十六进制 ↔ 二进制

二、快速转换法

三、求相反数（变号）

四、同一串位，两种读法

转换流程速查

交互可视化

例题

常见丢分点

考点清单

真题练习

相关真题（20题）

教材出处

相关文章

定点数编码的转换与书写 ​

大纲定位 ​

考情分析 ​

一、三向互转 ​

真值 → 机器数 ​

机器数 → 真值 ​

十六进制 ↔ 二进制 ​

二、快速转换法 ​

三、求相反数（变号） ​

四、同一串位，两种读法 ​

转换流程速查 ​

交互可视化 ​

例题 ​

常见丢分点 ​

考点清单 ​

真题练习 ​

相关真题（20题）

教材出处 ​

相关文章

定点数编码的转换与书写

大纲定位

考情分析

一、三向互转

真值 → 机器数

机器数 → 真值

十六进制 ↔ 二进制

二、快速转换法

三、求相反数（变号）

四、同一串位，两种读法

转换流程速查

交互可视化

例题

常见丢分点

考点清单

真题练习

教材出处