真值与机器数：四种编码的定义

大纲定位

二（一）2　定点数的编码表示

要求：掌握原码、反码、补码、移码四种编码的定义、表示范围与零的表示。本篇是定义篇；具体怎么转、卷面怎么写，见 定点数编码的转换与书写。

考情分析

408 的题型只有单项选择题和综合应用题两类。本考点是整章的地基——补码加减、溢出判断、IEEE 754 全建立在它之上。选择题里最常出现的是边界值辨析（最小负数、$\pm 0$、同一位串的不同解释）。

全篇符号约定

本篇统一用 $n$ 表示机器字长（含 1 位符号位），数值位有 $n-1$ 位。

有些教材用 $n$ 表示数值位数，其定义式会写成 $[X{]}_{\mathrm{补}}=2^{n+1}+X$。两套约定都对，但代进表示范围时会差一位，看书时先确认这本书的 $n$ 是哪个。

真值与机器数

真值：带正负号的实际数值，如 $+1011$、$-0.1101$。人写的形式。

机器数：连符号一起编码成 0/1 位串放进寄存器的形式。机器里没有"负号"这个符号，正负必须编码进去。

把真值变成机器数有四种编码方式：原码、反码、补码、移码。它们的差别只在负数怎么编——正数在四者中除移码外完全相同。

原码

符号位取真值的正负（正 0 负 1），数值位直接写绝对值。

$$[X{]}_{\mathrm{原}}=\{\begin{array}{ll}X& 0\le X<2^{n-1}\\ 2^{n-1}+|X|& -2^{n-1}<X\le 0\end{array}$$

式中 $2^{n-1}+|X|$ 就是"把符号位置 1、数值位保持绝对值"。

表示范围：$-(2^{n-1}-1)\sim +(2^{n-1}-1)$

零有两个：$[+0{]}_{\mathrm{原}}=00\dots 0$，$[-0{]}_{\mathrm{原}}=10\dots 0$。

原码的好处是直观、乘除方便；坏处是加减法要先比较绝对值再决定做加还是做减，硬件麻烦——这正是补码出现的动机。

反码

正数与原码相同；负数是原码的数值位按位取反（符号位不变）。

表示范围：与原码相同，$-(2^{n-1}-1)\sim +(2^{n-1}-1)$

零也有两个：$[+0{]}_{\mathrm{反}}=00\dots 0$，$[-0{]}_{\mathrm{反}}=11\dots 1$。

反码现在几乎不单独使用，它的主要角色是求补码的中间步骤。

补码

正数与原码相同；负数是反码加 1。

$$[X{]}_{\mathrm{补}}=\{\begin{array}{ll}X& 0\le X<2^{n-1}\\ 2^n+X& -2^{n-1}\le X<0\end{array}$$

表示范围：$-2^{n-1}\sim +(2^{n-1}-1)$——比原码/反码多一个最小负数 $-2^{n-1}$。

零唯一：$[+0{]}_{\mathrm{补}}=[-0{]}_{\mathrm{补}}=00\dots 0$。正因为不用再给 $-0$ 留一个编码，那个位串腾出来给了 $-2^{n-1}$。

补码为什么能用加法做减法

关键在模运算。钟表是个模 12 的系统：时针从 6 点拨到 3 点，可以逆时针拨 3 格（$-3$），也可以顺时针拨 9 格（$+9$）——因为 $-3\equiv 9(\mathrm{mod}12)$，两者等效。

$n$ 位寄存器就是一个模 $2^n$ 的系统：超出 $n$ 位的进位自动丢弃，等价于对 $2^n$ 取模。所以

$$X-Y\equiv X+(2^n-Y)(\mathrm{mod}{2}^n)$$

只要用 $2^n-Y$ 这个"补数"代替 $-Y$，减法就变成了加法。而 $2^n-Y$ 正是 $[-Y{]}_{\mathrm{补}}$ 的定义。

"取反加 1" 是怎么来的

定义式里是 $2^n+X$（$X$ 为负），实际操作却是"取反加 1"，两者为什么等价？以 8 位、$|X|=1101100$ 为例：

$$2^8-1101100=\underset{\text{符号位}}{\underbrace{10000000}}+\underset{\text{数值位按位取反}}{\underbrace{(1111111-1101100)}}+\underset{\text{末位加 1}}{\underbrace{1}}$$

拆项之后一目了然：$1111111 - $ 数值位就是逐位取反（因为每一位不是 0 就是 1，用 1 减等于翻转），剩下那个 $1$ 就是末位加 1。所以"取反加 1"不是硬记的口诀，是定义式的直接展开。

移码

$$[X{]}_{\mathrm{移}}=2^{n-1}+X(-2^{n-1}\le X<2^{n-1})$$

即在真值上加一个偏置常数（这里取 $2^{n-1}$）。等价的快捷说法：移码 = 补码的符号位取反。

表示范围：与补码相同，$-2^{n-1}\sim +(2^{n-1}-1)$。零唯一。

移码的用处是便于比较大小：真值越大，移码作为无符号整数读出来的值也越大，顺序完全一致。所以浮点数的阶码采用移码，比较两个浮点数的大小时可以直接按位串比。

移码与 IEEE 754 的偏置常数

IEEE 754 的阶码同样是移码，只是偏置常数不取 $2^{n-1}$ 而取 $2^{n-1}-1$（单精度 127，双精度 1023）。

不要把"移码最小真值对应全 0"与"IEEE 754 阶码全 0 有特殊含义"混为一谈——后者是标准对特殊值的编码约定（阶码全 0 表示 $\pm 0$ 或非规格化数，全 1 表示 $\mathrm{\infty }$ 或 NaN），与移码的性质无关。详见 IEEE 754 浮点数表示。

四位编码全表

把 4 位字长下的所有位串列全，四种编码的差异一眼可见：

真值	原码	反码	补码	移码
+7	0111	0111	0111	1111
+6	0110	0110	0110	1110
+5	0101	0101	0101	1101
+4	0100	0100	0100	1100
+3	0011	0011	0011	1011
+2	0010	0010	0010	1010
+1	0001	0001	0001	1001
+0	0000	0000	0000	1000
−0	1000	1111	—	—
−1	1001	1110	1111	0111
−2	1010	1101	1110	0110
−3	1011	1100	1101	0101
−4	1100	1011	1100	0100
−5	1101	1010	1011	0011
−6	1110	1001	1010	0010
−7	1111	1000	1001	0001
−8	—	—	1000	0000

看最后两行：$-8$ 只有补码和移码能表示，原码/反码的那个位串被 $-0$ 占用了。

四种编码对比

编码	负数怎么编	零	表示范围（$n$ 位含符号）	主要用途
原码	符号位 1 + 绝对值	两个	$[-(2^{n-1}-1),2^{n-1}-1]$	乘除法的数值部分
反码	原码数值位取反	两个	$[-(2^{n-1}-1),2^{n-1}-1]$	求补码的中间步骤
补码	反码 + 1	唯一	$[-2^{n-1},2^{n-1}-1]$	整数的通用表示、加减运算
移码	补码符号位取反	唯一	$[-2^{n-1},2^{n-1}-1]$	浮点数的阶码

边界值：最容易出选择题的地方

$$\boxed{{\displaystyle -2^{n-1}\text{是补码独有的，它没有对应的原码和反码}}}$$

由此派生出三个必须分清的位串（以 8 位为例）：

位串	按补码读	说明
10000000	$-128$	补码最小值。它的相反数 $+128$ 无法用 8 位补码表示
10000001	$-127$	补码最小值加 1
11111111	$-1$	全 1。不是 $-127$、也不是 $-128$

两个陷阱

1. $-128$ 不是溢出。8 位补码范围是 $[-128,+127]$，$-128$ 是合法值，机器数 10000000。别一看到它就判溢出。
2. 给定编码必须说清位数。同一个真值在不同位数下机器数不同；题目不给字长，$[-2^{n-1}]$ 这类边界题根本无法作答。

补码的按权展开：把符号位当成一个负权

前面的分段定义适合"给真值求编码"。反过来"给一串位求真值"，用按权展开更快——只要把最高位的权取成负的：

$$\boxed{{\displaystyle X=-b_{n-1}\cdot 2^{n-1}+\sum _{i=0}^{n-2}{b}_i\cdot 2^i}}$$

也就是说，$n$ 位补码里最高位的权是 $-2^{n-1}$，其余各位的权照常是正的。

8 位的具体形态：

$$X=-128\cdot b_7+64b_6+32b_5+16b_4+8b_3+4b_2+2b_1+b_0$$

用它验算前面那三个位串：

位串	展开	真值
10000000	$-128+0$	$-128$
10000001	$-128+1$	$-127$
11111111	$-128+127$	$-1$

一句话记法

符号位为 1 时，真值 = $-2^{n-1}$ 加上低 $n-1$ 位当无符号数读出的值。

这比"取反加一再添负号"快得多，尤其是位串里 1 很多的时候。

用它构造极值

有一类题不给具体数，只给"位的个数"限制，要你找出最大/最小值。按权展开是唯一顺手的工具。

例：由 3 个 1 和 5 个 0 组成的 8 位二进制补码，能表示的最小整数是多少？

解：

1. 定符号位。要最小（最负），符号位必须是 1——符号位为 0 的都是非负数，一定比它大。用掉一个 1。
2. 写出展开式。符号位为 1 $\Rightarrow$ 真值 $=-128+(\text{低 7 位的无符号值})$。
3. 最小化剩下的部分。低 7 位还剩 2 个 1 和 5 个 0，要让它作为无符号数尽可能小，就把两个 1 全塞到最低位：0000011 $=3$。

$$X_{min}=-128+3=\mathbf{-}\mathbf{125},\text{机器数 }\mathtt{\text{10000011}}$$

干扰项各自错在哪，值得逐个看一眼——它们代表三种不同的走神方式：

干扰项	对应位串	问题
$-126$	10000010	只有 2 个 1，不满足"3 个 1"的条件
$-3$	11111101	有 7 个 1，同样不满足
$-32$	11100000	1 的个数是对的（3 个），但它不是最小——两个 1 摆在高位，低 7 位读出来是 96，$-128+96=-32$，比 $-125$ 大得多

$-32$ 这个干扰项最有价值：它提醒你满足条件的位串不止一个，题目要的是其中最小的那个。所以第 3 步"把 1 全塞到最低位"不是随手一放，而是最小化那一项的唯一方式。

典型例题

例 1：8 位（含符号位），写出 $-45$ 的原码、反码、补码、移码。

$45=(101101{)}_2$，7 位数值位写作 0101101。

编码	结果	怎么来的
原码	10101101	符号位 1 + 绝对值
反码	11010010	原码数值位取反
补码	11010011	反码加 1
移码	01010011	补码符号位取反

验证补码：$2^8-45=211=(11010011{)}_2$ ✓

例 2：8 位补码能表示的最小负数与最大正数分别是多少？

最小 $-2^7=-128$（10000000），最大 $2^7-1=+127$（01111111）。注意负边界的绝对值比正边界大 1，这是补码的固有不对称。

例 3：由 3 个 1 和 5 个 0 组成的 8 位补码，能表示的最小整数是多少？

要最小（最负），符号位必须是 1（占掉一个 1）。剩下 2 个 1 放在数值位——负数补码的数值位越小、真值越负，所以两个 1 尽量往低位放：10000011。

真值 $=3-128=-125$。

考点清单

• [ ] 真值与机器数的区别：符号是否被编码进位串
• [ ] 四种编码的定义式与表示范围
• [ ] 零的表示：原码/反码各两个，补码/移码唯一
• [ ] 补码比原码/反码多表示一个 $-2^{n-1}$，因为省下了 $-0$ 的编码
• [ ] 补码能用加法做减法的原因是模运算；"取反加 1"是定义式 $2^n+X$ 的展开
• [ ] 移码 = 补码符号位取反，用于阶码，因为它可直接按无符号比大小
• [ ] IEEE 754 阶码也是移码，但偏置常数取 $2^{n-1}-1$
• [ ] 边界辨析：10000000 = $-128$（合法非溢出）、11111111 = $-1$
• [ ] 给定编码必须交代位数，否则边界题无解

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教材出处

• 四种编码的定义式与表示范围：唐朔飞《计算机组成原理》第 3 版 §6.1 无符号数和有符号数，印刷页 p223–p228（含表 6.1 全位串对照表、图 6.1 移码数轴）
• 模运算动机与"取反加 1"的代数展开：袁春风《计算机组成与系统结构》第 3 版 §2.1.4 定点数的编码，印刷页 p29–p31

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